表現論から見る微分作用素

この記事では，多様体上の微分作用素と表現論の関係について解説します．
本稿では簡単のために微分形式に対する微分作用素を考えることにします．以下の議論はもう少し広く，主$\SO(n)$-束の同伴ベクトル束に対して同じことができます．

とりあえず謎の表現を分解してみる

$\SO(n)$の表現として自然表現の$k$次外冪表現$\bw{k}(\R^n)$があります．今回考えたいのは，これと自然表現のテンソル積表現$\R^n \otimes \bw{k}(\R^n)$です．これは既約ではありません．すぐにわかる部分表現として$\bw{k+1}(\R^n)$がありますね．実際
$$ \iota_k^+ \colon \bw{k+1}(\R^n) \to \R^n \otimes \bw{k}(\R^n), \quad \omega \mapsto \sum_i e_i \otimes i_{e_i}(\omega) $$
という，$\SO(n)$の作用と可換な埋め込みがあります．ここで$e_1, \cdots, e_n$は$\R^n$の正規直交基底で，$i_{e_i}$は内部積です．$\iota_k^+$の定義は正規直交基底の取り方に依りません．それから，$\bw{k-1}(\R^n)$と同値な表現も入っています．実際
$$ \iota_{k}^- \colon \bw{k-1}(\R^n) \to \R^n \otimes \bw{k}(\R^n),\quad \omega \mapsto \sum_{i} e_i \otimes (e_i \wedge \omega) $$
という，$\SO(n)$の作用と可換な埋め込みがあります．これも正規直交基底の取り方に依りません．念のため$\iota_{k}^-$が$\SO(n)$の作用と可換であることを確認します．任意の$g \in \SO(n)$に対して
$$ \begin{align*} g \cdot\iota_{k}^-(\omega) &= g\cdot \sum_{i} e_i \otimes (e_i \wedge \omega)\\ &= \sum_i (ge_i) \otimes ((ge_i) \wedge (g \cdot \omega))\\ &= \iota_k^-(g \cdot \omega) \end{align*} $$
となります．ここで最後の等号は，$ge_1, \cdots, ge_n$が正規直交基底であることと，$\iota_k^-$の定義が正規直交基底に依らないことを用いました．
さて，$\bw{k+1}(\R^n) \oplus \bw{k-1} \R^n \cong^? \R^n \otimes \bw{k}(\R^n)$でしょうか？それを確かめるために次元を計算してみましょう．
$$ \begin{align*} \dim \left(\R^n \otimes \bw{k}(\R^n)\right) &= n \times \binom{n}{k}\\ \dim \bw{k+1}(\R^n) + \dim \bw{k-1} (\R^n) &= \binom{n}{k+1} + \binom{n}{k-1} \end{align*} $$
であり，
$$ \binom{n}{k+1} = \frac{n-k}{k+1}\binom{n}{k}, \quad \binom{n}{k-1} = \frac{k}{n-k+1}\binom{n}{k} $$
なので
$$ n\binom{n}{k} - \binom{n}{k+1} - \binom{n}{k-1} = \frac{k(n-k)(n+2)}{(k+1)(n-k+1)}\binom{n}{k} $$
となります．$k \neq 0, n$のときはこれは正の値になるので
$$ \bw{k+1}(\R^n) \oplus \bw{k-1} (\R^n) \subsetneq \R^n \otimes \bw{k}(\R^n) \quad (k=1, \cdots, n-1) $$
ということがわかります．そこで残りの部分を$W_k$とおくと
$$ \R^n \otimes \bw{k}(\R^n) \cong \bw{k+1}(\R^n) \oplus \bw{k-1} (\R^n) \oplus W_k $$
と分解できることがわかりました．ただし$W_0=W_n=0$です．これが既約分解になっているかは$n$と$k$に依りますが，とにかくどんな場合でもこの形にまでは分解できるわけです．

各成分への射影の構成

では分解した各成分への射影は具体的にどのように書けるでしょうか．答えを書くと
$$ \Pi_k^+ \colon \R^n \otimes \bw{k} (\R^n) \to \bw{k+1}(\R^n), \quad v \otimes \omega \mapsto v \wedge \omega $$
$$ \Pi_k^- \colon \R^n \otimes \bw{k} (\R^n) \to \bw{k-1}(\R^n), \quad v \otimes \omega \mapsto \frac{1}{n-1}i_v(\omega) $$
です．このことを確かめてみましょう．
$$ \begin{align*} \Pi_k^+(\iota_k^+(\omega)) &= \sum_i \Pi_k^+(e_i \otimes i_{e_i}(\omega)) = \sum_i e_i \wedge i_{e_i}(\omega) = \omega\\ \Pi_k^-(\iota_k^-(\omega)) &= \sum_i \Pi_k^-(e_i \otimes (e_i \wedge \omega)) = \frac{1}{n-1}\sum_i i_{e_i}(e_i \wedge \omega)\\ &=\frac{1}{n-1}\sum_i (\omega - e_i \wedge i_{e_i}(\omega)) = \frac{1}{n-1}(n\omega - \omega) = \omega \end{align*} $$
となるので
$$ \Pi_k^+ \circ \iota_k^+ = \mathrm{Id},\quad \Pi_k^- \circ \iota_k^- = \mathrm{Id} $$
がわかりました．

共変微分の分解

さて，何のために謎の表現を分解したのか説明します．$(M^n,g)$を向き付けられたリーマン多様体とし，$P_{\SO}M \to M$を正規直交フレーム束(主$\SO(n)$-束)とします．$M$上の$k$次微分形式というのはベクトル束$\bw{k}(T^{\ast}M)$の切断でした．このベクトル束は同伴ベクトル束として
$$ \bw{k}(T^{\ast}M) \cong P_{\SO}M \times_{\SO(n)} \bw{k}(\R^n) $$
と実現できます．
$\nabla$をLevi-Civita接続として，これから誘導される$\bw{k}(T^{\ast}M)$上の接続も$\nabla$と書くことにすると，これは
$$ \nabla \colon \Gamma\left(\bw{k}(T^{\ast}M)\right) \to \Gamma\left(T^{\ast}M \otimes \bw{k}(T^{\ast}M)\right) $$
という写像と思えます．行き先の方のベクトル束は，これまでの議論から
$$ \begin{align*} T^{\ast}M \otimes \bw{k}(T^{\ast}M) &\cong P_{\SO}M \times_{\SO(n)} (\R^n \otimes \bw{k}(\R^n))\\ &\cong P_{\SO}M \times_{\SO(n)} (\bw{k+1}(\R^n) \oplus \bw{k-1}(\R^n) \oplus W_k)\\ & \cong \bw{k+1}(T^{\ast}M) \oplus \bw{k-1}(T^{\ast}M) \oplus \tilde{W}_k \end{align*} $$
という形にベクトル束として分解できることがわかります．ここで$W_k$に対応するベクトル束を$\tilde{W}_k$と表しています．そこで$\nabla$を各成分に射影してみましょう．すると局所的に
$$ \begin{align*} \Pi^+_k(\nabla \omega) &= \sum_i \Pi^+_k(e_i \otimes \nabla_{e_i} \omega) = \sum_i e_i \wedge \nabla_{e_i}\omega\\ \Pi^-_k(\nabla \omega) &= \sum_i \Pi^-_k(e_i \otimes \nabla_{e_i} \omega) = \frac{1}{n-1}\sum_i i_{e_i}(\nabla_{e_i}\omega)\\ \end{align*} $$
となりますね．$e_1, \cdots, e_n$は局所的な正規直交フレームです．実は頑張って計算すると次の事実がわかります．

よって，
$$ \Pi^+_k \circ \nabla = d, \quad \Pi^-_k \circ \nabla = -(n-1)\delta $$
である，すなわち，共変微分をそれぞれの成分に制限したものが外微分と余微分であるということがわかりました．このように，ベクトル束に対する微分作用素は共変微分を適切な部分ベクトル束に射影することで得られます．$\tilde{W}_k$については宿題とします．

もし何か誤りなどがありましたら教えていただけると助かります．