【初投稿】三角比の範囲で2倍角・半角の公式を導く

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はじめに

こんにちは、みのと申します。
Mathlogを書いてみたかったので、やってみます！
初めて…といいたいところですが、すでに同じ内容の記事を1回書いていてそれを消してしまったためもう1回書いています。悲しい

僕は、現在高1で数検準1級を取っています。大学数学もぼちぼち。今の目標は留数定理とやらで気持ちよくなることと、関数グラフアートに触れたりしたいなーと思っています。

三角比の範囲で2倍角・半角の公式

さて、最近思いついたことについてここに書いておこうと思います。高1の知識で三角関数の2倍角・半角の公式を導いてみようというものです。すでに誰かが書いていそうですが、一応自分が思いついたということで…
今回cosの場合を導きます。とりあえず下に示す形を導けば、変形して他のcos^2-sin^2みたいな形も出てきますね。

2倍角の公式

$\cos 2 θ = 1 - 2 s i n^{2} θ$

※三角形を使う関係上、 $0 ° < θ < 90 °$ に限られます。まあ三角比の範囲ですし、そうでないとだめではありますね。

証明

以下のようなAB=ACの二等辺三角形ABCを考える。
AB=AC=a,BC=b, $∠$ BAC= $2 θ$ とする。
手書きで汚いのは許して
また、 $∠$ BACの二等分線とBCとの交点をDとすると、 $∠$ BAD= $∠$ CAD= $θ$ ,BD=DC= $\frac{b}{2}$ , $∠$ ADB= $∠$ ADC=90°となる。
手書きで（以下略）
三角形ABCにおいて、余弦定理より
$b^{2} = 2 a^{2} - 2 a^{2} \cos 2 θ$
$b^{2} = 2 a^{2} (1 - c o s 2 θ)$
また、
$\frac{b}{2} = B D = a \sin θ$
$b = 2 a \sin θ$
$b^{2} = 4 a^{2} \sin^{2} θ$
よって、
$2 a^{2} (1 - \cos 2 θ) = 4 a^{2} \sin^{2} θ$
$a^{2} \neq 0$ より、
$1 - \cos 2 θ = 2 \sin^{2} θ$
あとは変形すれば目標の式を得られる