コラッツ予想と合同式

コラッツ予想を合同式と絡めて考えて方針っぽいものを考えてみました。

操作前と操作後は矢印で繋ぐものとします。

$1$は元々$1$なので操作なしで$1$になる
$2→1 2$は偶数なので$2$で割るって$1$になる。

$1〜2n-1$までの数が成り立つと仮定すると
$2n$は偶数なので$2n÷2=n$
$ n\in \mathbb{N} $より$n<2n-1$。

これによって$n≡0 \pmod{2} $を満たす自然数$n$は$n$未満の奇数にたどり着くため、奇数で成り立つことを証明すれば偶数も証明される。

次に$ n≡1 \pmod{2} $を証明できれば良いが、これを直接証明することは難しい。

ここで法を$4$にする。

偶数で成り立つため、$n≡0,2\pmod{4}$で成り立つ。

ここで奇数の時を考える
$n→3n+1→ \frac{3n+1}{2}$
ここで$\frac{3n+1}{2}$が偶数だとか仮定すると
$→ \frac{ \frac{3n+1}{2} }{2}= \frac{3n+1}{4} $
となる。
これらの値は全て自然数を取るので
$3n≡-1\pmod{4}$
$3n≡3\pmod{4}$
$n≡1\pmod{4}$
よって残りの
$n≡3\pmod{4}$を示せばいい

ここまでの流れを見ると
まず法が$1$の世界では$0/1$,
法が$2$の世界では$1/2$,
法が4の世界では$2/3$が証明されている。
$(証明できた合同式の解の個数/合同式解になりうる数の個数)$
また、合同式の解とはその法においていつでもコラッツ予想を満たすことが証明できた数を指す。

なお、法が$2$倍になるにあたって
証明できてない数の個数が$2$倍になる。
よって一つだけ証明できなくても法を$2$倍にした時に
自明ではない解を1つ証明がいつでもできることを示せば命題を証明したことになる。

なお、自明な解は法を$2$倍する前の合同式の解から導ける解のことをいうこととする。

具体的に言うと
$\mod{2}$の時$n≡0$の時に成り立つ
$\mod{4}$の時$n≡0,1,2$
　　　 :
となるため

$ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}={∞} $

よりこれを証明できると全ての自然数に当てはまると言える。

まず法を$2^m$とする。

ここで$2^{m-1}<3^l<2^m $を満たす組$(m,l)$が存在しているときには必ず非自明な解が見つかる。

これは$n$が奇数の時$3$倍して$1$を加えて割る$2$をするのを$p$回繰り返した後に$m-1$回$2$で割るとその値は必ず$n$より小さくなるからである。

だが、この案では$\mod{8}$においては非自明な解が見つかるとは言い切れない。

どの$m$においても非自明な解が見つかることが証明できれば、コラッツ予想が証明できたと言える。

なお、ここでの自明や解などは他の場所では使用されていない私が便宜上つけた名前である。