「T」
$\triangle{}ABO$
$\angle{}ABO=\angle{}BAO=54^\circ$
$\angle{}AOB=72^\circ$
$\triangle{}ABT$
$\angle{}ABT=36^\circ$
$\angle{}BTA=90^\circ$
$\triangle{}OBT$
$\angle{}OBT=18^\circ$
$\angle{}BTO=90^\circ$
$AT:OT=2:1$
$BO=1$とすると、
$OT=\frac{1}{3}$
$BT=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
$AT=\frac{2}{3}$
$AB=\frac{2}{\sqrt{3}}$
$AB=2$とすると、
$BO=\sqrt{3}$
$OT=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$AT=\frac{2}{\sqrt{3}}$
$BT=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
$\therefore$
正５角形の辺と対角線の比は
$1:\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$である。
$\because$
$AB$の中点$P$
$AT$の中点$Q$とすると、
$\triangle{}PAQ$
$AP=1$
$AQ=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$PQ=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
$\angle{}PBQ=\angle{}PQB=18^\circ$
$\angle{}APQ=36^\circ$
$\triangle{}POQ$
$OP=\sqrt{2}$
$OQ=\frac{2}{\sqrt{3}}$
$PQ=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
矛盾はない
$cf.$
$\triangle{}ABT\sim\triangle{}AOP$
$\triangle{}ABT$
$AB=2$
$BT=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
$AT=\frac{2}{\sqrt{3}}$
$\triangle{}AOP$
$AO=\sqrt{3}$
$OP=\sqrt{2}$
$AP=1$
しかし$\triangle{}ABO$
$AB=2$、$AO=BO=\sqrt{3}$のとき、
$\angle{}ABO=\angle{}BAO=54^\circ$
$\angle{}AOB=72^\circ$であるのか？。$\quad?$
$?$
（教科書的には不正解である。）