T

「T」

$\mathrm{△}ABO$
$\mathrm{\angle }ABO=\mathrm{\angle }BAO={54}^{\circ }$
$\mathrm{\angle }AOB={72}^{\circ }$

$\mathrm{△}ABT$
$\mathrm{\angle }ABT={36}^{\circ }$
$\mathrm{\angle }BTA={90}^{\circ }$

$\mathrm{△}OBT$
$\mathrm{\angle }OBT={18}^{\circ }$
$\mathrm{\angle }BTO={90}^{\circ }$

$AT:OT=2:1$

$BO=1$とすると、

$OT=\frac{1}{3}$
$BT=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$AT=\frac{2}{3}$
$AB=\frac{2}{\sqrt{3}}$

$AB=2$とすると、

$BO=\sqrt{3}$
$OT=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$AT=\frac{2}{\sqrt{3}}$

$BT=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

$\therefore$
正５角形の辺と対角線の比は
$1:\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$である。

$\because$
$AB$の中点$P$
$AT$の中点$Q$とすると、

$\mathrm{△}PAQ$
$AP=1$
$AQ=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$PQ=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

$\mathrm{\angle }PBQ=\mathrm{\angle }PQB={18}^{\circ }$
$\mathrm{\angle }APQ={36}^{\circ }$

$\mathrm{△}POQ$
$OP=\sqrt{2}$
$OQ=\frac{2}{\sqrt{3}}$
$PQ=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

矛盾はない

$cf.$

$\mathrm{△}ABT\sim \mathrm{△}AOP$

$\mathrm{△}ABT$
$AB=2$
$BT=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
$AT=\frac{2}{\sqrt{3}}$

$\mathrm{△}AOP$
$AO=\sqrt{3}$
$OP=\sqrt{2}$
$AP=1$

しかし$\mathrm{△}ABO$
$AB=2$、$AO=BO=\sqrt{3}$のとき、
$\mathrm{\angle }ABO=\mathrm{\angle }BAO={54}^{\circ }$
$\mathrm{\angle }AOB={72}^{\circ }$であるのか？。$?$

$?$

（教科書的には不正解である。）