T

「T」

$\triangle{}ABO$
$\angle{}ABO=\angle{}BAO=54^\circ$
$\angle{}AOB=72^\circ$

$\triangle{}ABT$
$\angle{}ABT=36^\circ$
$\angle{}BTA=90^\circ$

$\triangle{}OBT$
$\angle{}OBT=18^\circ$
$\angle{}BTO=90^\circ$

$AT:OT=2:1$

$BO=1$とすると、

$OT=\frac{1}{3}$
$BT=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$AT=\frac{2}{3}$
$AB=\frac{2}{\sqrt{3}}$

$AB=2$とすると、

$BO=\sqrt{3}$
$OT=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$AT=\frac{2}{\sqrt{3}}$

$BT=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

$\therefore$
正５角形の辺と対角線の比は
$1:\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$である。

$\because$
$AB$の中点$P$
$AT$の中点$Q$とすると、

$\triangle{}PAQ$
$AP=1$
$AQ=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$PQ=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

$\angle{}PBQ=\angle{}PQB=18^\circ$
$\angle{}APQ=36^\circ$

$\triangle{}POQ$
$OP=\sqrt{2}$
$OQ=\frac{2}{\sqrt{3}}$
$PQ=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

矛盾はない

$cf.$

$\triangle{}ABT\sim\triangle{}AOP$

$\triangle{}ABT$
$AB=2$
$BT=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
$AT=\frac{2}{\sqrt{3}}$

$\triangle{}AOP$
$AO=\sqrt{3}$
$OP=\sqrt{2}$
$AP=1$

しかし$\triangle{}ABO$
$AB=2$、$AO=BO=\sqrt{3}$のとき、
$\angle{}ABO=\angle{}BAO=54^\circ$
$\angle{}AOB=72^\circ$であるのか？。$\quad?$

$?$

（教科書的には不正解である。）