$$ \displaystyle\lim_{n \to \infty} \sum_{p=1}^{n} \sum_{q=1}^{n} \sum_{r=1}^{n}\frac{(pqr)^2}{r3^{p+q}(qr3^p+pr3^q+pq3^r)} $$

解答
求めるべき極限を$A$とする。
分子分母をそれぞれ$(pqr)^2$で割ることで$A$は
$$ \displaystyle\lim_{n \to \infty} \sum_{p=1}^{n} \sum_{q=1}^{n} \sum_{r=1}^{n}\frac{1}{\p\q(\p+\q+\r)} $$
となる。ここで$A$の$p$を$q$に$q$を$r$に$r$を$p$に変えたものを$B$
また、$A$の$p$を$r$に$q$を$p$に$r$を$q$に変えたものを$C$とすれば対称性より
$A$=$B$=$C$
となることがわかるから
$\displaystyle A=\frac{1}{3}(A+B+C)$
である。
$\displaystyle A+B+C=\intsum\frac{1}{\p\q\r}$
$\displaystyle \qquad\qquad\quad=\lim_{n \to \infty}(\sum_{p=1}^{n}\frac{1}{\p})(\sum_{q=1}^{n}\frac{1}{\q})(\sum_{r=1}^{n}\frac{1}{\r})$
対称性より
$\displaystyle A+B+C= \lim_{n \to \infty} (\sum_{p=1}^{n}\frac{1}{\q})^3$
となるから
$\displaystyle A=\frac{1}{3}(A+B+C)$

$\displaystyle \quad= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3}(\sum_{p=1}^{n}\frac{p}{3^p})^3$

$\displaystyle\quad=\frac{1}{3}(\frac{3}{4})^3$

$\displaystyle\quad=\frac{9}{64}$
よって求めるべき極限は$\frac{9}{64}$