$${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{p=1}^n\sum _{q=1}^n\sum _{r=1}^n\frac{(pqr{)}^2}{r{3}^{p+q}(qr{3}^p+pr{3}^q+pq{3}^r)}}$$

解答
求めるべき極限を$A$とする。
分子分母をそれぞれ$(pqr{)}^2$で割ることで$A$は
$${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{p=1}^n\sum _{q=1}^n\sum _{r=1}^n\frac{1}{\frac{3^p}{p}\frac{3^q}{q}(\frac{3^p}{p}+\frac{3^q}{q}+\frac{3^r}{r})}}$$
となる。ここで$A$の$p$を$q$に$q$を$r$に$r$を$p$に変えたものを$B$
また、$A$の$p$を$r$に$q$を$p$に$r$を$q$に変えたものを$C$とすれば対称性より
$A$=$B$=$C$
となることがわかるから
${\displaystyle A=\frac{1}{3}(A+B+C)}$
である。
${\displaystyle A+B+C=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{p=1}^n\sum _{q=1}^n\sum _{r=1}^n\frac{1}{\frac{3^p}{p}\frac{3^q}{q}\frac{3^r}{r}}}$
${\displaystyle =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sum _{p=1}^n\frac{1}{\frac{3^p}{p}})(\sum _{q=1}^n\frac{1}{\frac{3^q}{q}})(\sum _{r=1}^n\frac{1}{\frac{3^r}{r}})}$
対称性より
${\displaystyle A+B+C=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sum _{p=1}^n\frac{1}{\frac{3^q}{q}}{)}^3}$
となるから
${\displaystyle A=\frac{1}{3}(A+B+C)}$

${\displaystyle =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{3}(\sum _{p=1}^n\frac{p}{3^p}{)}^3}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}(\frac{3}{4}{)}^3}$

${\displaystyle =\frac{9}{64}}$
よって求めるべき極限は$\frac{9}{64}$