1/logn∑sin(π/k)を計算する

問題

この極限を高校数学の範囲で求めることを最終目的として進めていきます。

下準備

(1) 正の実数$x$において、次の不等式を示す。

$$x-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}<\sin x<x$$

(2) 極限を求める。

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\log n}\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k}}$$
2曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}},y={\displaystyle \frac{1}{x+1}}$のグラフの概形より
$${\int }_0^n{\displaystyle \frac{dx}{x+1}}<\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k}}<1+{\int }_1^n{\displaystyle \frac{dx}{x}}$$
が成り立つ。また、不等式の左右の値を計算すると
$${\int }_0^n{\displaystyle \frac{dx}{x+1}}=[\log (x+1){]}_0^n=\log (n+1)$$
$$1+{\int }_1^n{\displaystyle \frac{dx}{x}}=1+\log n$$
だから
$$\log (n+1)<\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k}}<1+\log n$$
$${\displaystyle \frac{\log (n+1)}{\log n}}<\frac{1}{\log n}\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k}}<1+{\displaystyle \frac{1}{\log n}}$$
左右の極限をとって
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{\log (n+1)}{\log n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{\log (n+1)}{n+1}}\cdot {\displaystyle \frac{n}{\log n}}\cdot (1+{\displaystyle \frac{1}{n}})=1$$
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}1+{\displaystyle \frac{1}{\log n}}=1$$
よって
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\log n}\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k}}=1$$

(3) 無限級数が有限に収束することを示す。

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3}$$
$2\leqq n$のとき $n^3-n<n^3$より${\displaystyle \frac{1}{n^3}}<{\displaystyle \frac{1}{n^3-n}}$であるから
$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3}<1+\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3-n}=1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}({\displaystyle \frac{1}{(n-1)n}}-{\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}})$$
$$=1+{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-0)={\displaystyle \frac{5}{4}}$$

解答

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{\log n}}\sum _{k=1}^n\sin {\displaystyle \frac{\pi }{k}}$$

(1)より
$${\displaystyle \frac{\pi }{k}}-{\displaystyle \frac{{\pi }^3}{6k^3}}<\sin {\displaystyle \frac{\pi }{k}}<{\displaystyle \frac{\pi }{k}}$$
$k=1$から$n$までの総和をとって $\log n$で割ると
$${\displaystyle \frac{1}{\log n}}\sum _{k=1}^n({\displaystyle \frac{\pi }{k}}-{\displaystyle \frac{{\pi }^3}{6k^3}})<{\displaystyle \frac{1}{\log n}}\sum _{k=1}^n\sin {\displaystyle \frac{\pi }{k}}<{\displaystyle \frac{1}{\log n}}\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{\pi }{k}}$$

左右の極限をとる。楽な方の右から計算する。
(2)より
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{\log n}}\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{\pi }{k}}=\pi \cdots \cdots (i)$$
次に左も計算する。
(3)より
$${\displaystyle \frac{1}{\log n}}\{(\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{\pi }{k}})-{\displaystyle \frac{5{\pi }^3}{24}}\}<{\displaystyle \frac{1}{\log n}}\sum _{k=1}^n({\displaystyle \frac{\pi }{k}}-{\displaystyle \frac{{\pi }^3}{6k^3}})<{\displaystyle \frac{1}{\log n}}\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{\pi }{k}}$$
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{\log n}}\{(\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{\pi }{k}})-{\displaystyle \frac{5{\pi }^3}{24}}\}=\pi ,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{\log n}}\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{\pi }{k}}=\pi$$
より はさみうちから
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{\log n}}\sum _{k=1}^n({\displaystyle \frac{\pi }{k}}-{\displaystyle \frac{{\pi }^3}{6k^3}})=\pi \cdots \cdots (ii)$$

$(i),(ii)$より はさみうちから
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{\log n}}\sum _{k=1}^n\sin {\displaystyle \frac{\pi }{k}}=\pi$$

あとがき

4問構成でどれもそこまで難しくないので、全然大学入試に出ててもおかしくない問題だと思います。小さい$x$の値で$\sin x$は$x$に近い値なので、「総和でとったらどうなるんだろうな～」って感じの興味本位で作りましたが、意外といい問題になって面白かったです。