大学入試に出せそうなsin(π/n)の総和の問題
深夜に書いて推敲してないので文章が間違っているとこもあるかもしれません。
問題
$$ \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{\log{n}} \sum_{k=1}^n \sin{\dfrac{\pi}{k}} $$
この極限を高校数学の範囲で求めることを最終目的として進めていきます。
下準備
(1) 正の実数$x$において、次の不等式を示す。
$$ x-\dfrac{x^3}{6}<\sin{x}< x $$
$$
\dfrac{d}{dx}(x-\sin{x})=1-\cos{x}>0
$$
より単調増加だから
$$
x-\sin{x}>0-\sin{0}=0
$$
$$
\sin{x}< x
$$
次に
$$
\dfrac{d^2}{dx^2}\bigg(\sin{x}-x+\dfrac{x^3}{6} \bigg)
=x-\sin{x}>0
$$
より単調増加だから
$$
\dfrac{d}{dx}\bigg(\sin{x}-x+\dfrac{x^3}{6} \bigg)
=\cos{x}-1+\dfrac{x^2}{2}>\cos{0}-1+\dfrac{0}{2}=0
$$
より単調増加だから
$$
\sin{x}-x+\dfrac{x^3}{6}
>\sin{0}-0-\dfrac{0}{6}=0
$$
以上より$0< x$で以下の不等式が成り立つ。
$$
x-\dfrac{x^3}{6}<\sin{x}< x
$$
(2) 極限を求める。
$$
\lim_{n\to\infty} \cfrac{1}{\log{n}}
\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}
$$
2曲線$y=\dfrac{1}{x},\ y=\dfrac{1}{x+1}$のグラフの概形より
$$
\int_0^n \dfrac{dx}{x+1}
<\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}
<1+\int_1^n \dfrac{dx}{x}
$$
が成り立つ。また、不等式の左右の値を計算すると
$$
\int_0^n \dfrac{dx}{x+1}=\big[\log(x+1) \big]_0^n=\log(n+1)
$$
$$
1+\int_1^n \dfrac{dx}{x}=1+\log{n}
$$
だから
$$
\log(n+1)<\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}<1+\log{n}
$$
$$
\dfrac{\log(n+1)}{\log{n}}
<\cfrac{1}{\log{n}} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}
<1+\dfrac{1}{\log{n}}
$$
左右の極限をとって
$$
\lim_{n\to\infty}\dfrac{\log(n+1)}{\log{n}}
=\lim_{n\to\infty}\dfrac{\log(n+1)}{n+1}\cdot\dfrac{n}{\log{n}}\cdot\bigg(1+\dfrac{1}{n}\bigg)
=1
$$
$$
\lim_{n\to\infty}1+\dfrac{1}{\log{n}}=1
$$
よって
$$
\lim_{n\to\infty} \cfrac{1}{\log{n}} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}=1
$$
(3) 無限級数が有限に収束することを示す。
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{n^3}
$$
$2\leqq n$のとき $n^3-n< n^3$より$\dfrac{1}{n^3}<\dfrac{1}{n^3-n}$であるから
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{n^3}<1+\sum_{n=2}^{\infty} \cfrac{1}{n^3-n}=1+\dfrac{1}{2}\sum_{n=2}^{\infty} \bigg(\dfrac{1}{(n-1)n}-\dfrac{1}{n(n+1)}\bigg)
$$
$$
=1+\dfrac{1}{2}\bigg(\dfrac{1}{2}-0 \bigg)=\dfrac{5}{4}
$$
解答
$$ \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{\log{n}} \sum_{k=1}^n \sin{\dfrac{\pi}{k}} $$
(1)より
$$
\dfrac{\pi}{k}-\dfrac{\pi^3}{6k^3}<\sin{\dfrac{\pi}{k}}<\dfrac{\pi}{k}
$$
$k=1$から$n$までの総和をとって $\log{n}$で割ると
$$
\dfrac{1}{\log{n}} \sum_{k=1}^n \bigg(\dfrac{\pi}{k}-\dfrac{\pi^3}{6k^3}\bigg)
<\dfrac{1}{\log{n}} \sum_{k=1}^n \sin{\dfrac{\pi}{k}}
<\dfrac{1}{\log{n}} \sum_{k=1}^n \dfrac{\pi}{k}
$$
左右の極限をとる。楽な方の右から計算する。
(2)より
$$
\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{\log{n}} \sum_{k=1}^n \dfrac{\pi}{k}
=\pi\cdots\cdots(i)
$$
次に左も計算する。
(3)より
$$
\dfrac{1}{\log{n}} \bigg\{\bigg(\sum_{k=1}^n \dfrac{\pi}{k}\bigg)-\dfrac{5\pi^3}{24}\bigg\}
<\dfrac{1}{\log{n}} \sum_{k=1}^n \bigg(\dfrac{\pi}{k}-\dfrac{\pi^3}{6k^3}\bigg)
<\dfrac{1}{\log{n}} \sum_{k=1}^n \dfrac{\pi}{k}
$$
$$
\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{\log{n}} \bigg\{\bigg(\sum_{k=1}^n \dfrac{\pi}{k}\bigg)-\dfrac{5\pi^3}{24}\bigg\}=\pi,\ \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{\log{n}} \sum_{k=1}^n \dfrac{\pi}{k}
=\pi
$$
より はさみうちから
$$
\lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{\log{n}} \sum_{k=1}^n \bigg(\dfrac{\pi}{k}-\dfrac{\pi^3}{6k^3}\bigg)=\pi\cdots\cdots(ii)
$$
$(i),\ (ii)$より はさみうちから
$$
\lim_{n \to \infty}
\dfrac{1}{\log{n}} \sum_{k=1}^n \sin{\dfrac{\pi}{k}}=\pi
$$
あとがき
4問構成でどれもそこまで難しくないので、全然出ててもおかしくない問題だと思います。小さい$x$の値で$\sin{x}$は$x$に近い値なので、「総和でとったらどうなるんだろうな～」って感じの興味本位で作りましたが、意外といい問題になって面白かったです。