中学数学でπ>3.14を示す。+sin3°を幾何学的に示す。

目次

０. はじめに
１. 流れ
２. 正五角形と黄金比
３. 半径1の円に内接する正五角形の1辺の長さを求める。
４. 18°,72°,90°の直角三角形の比を求める。
５. 15°,75°,90°の直角三角形の比を求める。
６. 3°,87°,90°の直角三角形の比を求める。
７. 半径1の円に内接する正120角形の面積を求める。
$(\sin 3°$を幾何学的に示す。)
８. $\pi >3.14$
９. おわりに

０. はじめに

初めまして、$\mathrm{liber}$です。
今回は、円に内接する正120角形の面積から、
初等幾何で$\pi >3.14$を示していきたいと思います!

１. 流れ

「正120角形の１つの中心角が3°であることから、
　3°,87°,90°の直角三角形の辺の比を求めたい。」

→ 「18°-15°=3°より、
　　18°,72°,90°の直角三角形の辺の比と、　　
　　15°,75°,90°の直角三角形の辺の比を求めたい。」

→　$18°\times 2$=36°より、
　　 36°,54°,90°の直角三角形の辺の比を求めたい。

２. 正五角形と黄金比

正五角形①
$AB=1$とする。
$\mathrm{△}ABF\sim \mathrm{△}BEA$より、
$$\begin{array}{rcl}AB:BE& =& BF:EA\\ 1:BF+1& =& BF:1\\ BF(BF+1)& =& 1\\ B{F}^2+BF-1& =& 0\\ BF>0より、BF& ＝& \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{array}$$
よって、$BE=BF+1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}+1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

３. 半径１の円に内接する正五角形の1辺の長さを求める。

正五角形②
$AB＝a$とおく。
前述から、$AB：BG＝1:\frac{1+\sqrt{5}}{4}$より、$BG=\frac{1+\sqrt{5}}{4}a$

ここで、$\mathrm{△}ABG$において、三平方の定理により、
$AG=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}a$を得る。

$\mathrm{△}ABG\sim \mathrm{△}EOH$より、
$$\begin{array}{rcl}AB:EO& =& AG:EH\\ \mathit{a}:1& =& \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}a:\frac{1}{2}a\end{array}$$
$$\therefore a=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}$$

よって、

４. 18°,72°,90°の直角三角形の比を求める。

正五角形③
前述から、$AB:BG:AG＝1:\frac{1+\sqrt{5}}{4}:\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$である。

よって、$AB=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}$のとき、

$BG=\frac{1+\sqrt{5}}{4}\times \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}=\frac{(1+\sqrt{5})\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8},$

$AG=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\times \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}=\frac{5-\sqrt{5}}{4},$

$GO=AO-AG=1-(\frac{5-\sqrt{5}}{4})=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$

よって、

18°,72°,90°の直角三角形①

５. 15°,75°,90°の直角三角形の比を求める。

15°,75°,90°の直角三角形
$GI=1$とすると、
$JI=JB=2,JG=\sqrt{3},BG=2+\sqrt{3}$

$\mathrm{△}BGI$において、三平方の定理により、
$BI=\sqrt{8+4\sqrt{3}}=\sqrt{8+2\sqrt{12}}=\sqrt{(\sqrt{6}+\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$

よって、

６. 3°,87°,90°の直角三角形の比を求める。

18°,72°,90°の直角三角形②

前述から、$GI:BG:BI=\sqrt{6}-\sqrt{2}:\sqrt{6}+\sqrt{2}:4$である。

よって、$BG＝\frac{(1+\sqrt{5})\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}$のとき、

$BI=\frac{4(1+\sqrt{5})\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8(\sqrt{6}+\sqrt{2})},$

$GI＝\frac{(1+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8(\sqrt{6}+\sqrt{2})},$

$$\begin{array}{rcl}OI& =& GO-GI\\ & =& \frac{-1+\sqrt{5}}{4}-\frac{(1+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8(\sqrt{6}+\sqrt{2})}\\ & =& \frac{-2(1-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{2})-(1+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8(\sqrt{6}+\sqrt{2})}\end{array}$$

$\mathrm{△}OBG\sim \mathrm{△}OIKより、$
$OI:IK=OB:BG=1:\frac{(1+\sqrt{5})\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}$であるから、

$IK＝\frac{-2(1-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{2})-(1+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8(\sqrt{6}+\sqrt{2})}\times \frac{(1+\sqrt{5})\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}$

よって、

７. 半径1の円に内接する正120角形の面積を求める。

正120角形の一部分
点$L$から辺$BO$に垂線を下ろした足を$M$とすると、
前述から、
$BL:LM$
$=\frac{4(1+\sqrt{5})\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8(\sqrt{6}+\sqrt{2})}:\frac{-2(1-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{2})-(1+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8(\sqrt{6}+\sqrt{2})}\times \frac{(1+\sqrt{5})\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}$である。

$BL＝1$のとき、
$$\begin{array}{rcl}LM& ＝& \frac{-2(1-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{2})-(1+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8(\sqrt{6}+\sqrt{2})}\times \frac{(1+\sqrt{5})\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}\times \frac{8(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4(1+\sqrt{5})\sqrt{10-2\sqrt{5}}}\\ & =& \frac{-2(1-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{2})-(1+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{32}\\ & =& \frac{2\{-(1-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{2})-(1+\sqrt{5})(\sqrt{3}-1)\sqrt{5-\sqrt{5}}\}}{32}\\ & =& \frac{-(1-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{2})-(1+\sqrt{5})(\sqrt{3}-1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16}\\ & =& \frac{-(1-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{2})-2\sqrt{5+\sqrt{5}}(\sqrt{3}-1)}{16}\\ & =& \frac{\sqrt{30}+\sqrt{10}-\sqrt{6}-\sqrt{2}-2\sqrt{15+3\sqrt{5}}+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16}\end{array}$$

よって、

$\sin 3°$はいくつ?
$\sin \theta ,\cos \theta$
$\mathrm{\angle }C=90°$の直角三角形ABCにおいて、$\mathrm{\angle }ABC=\theta$とし、$$\sin \theta =\frac{AC}{AB},\cos \theta =\frac{BC}{AB},\tan \theta =\frac{AC}{BC}$$と定義する。

図6において、$$\sin 3°=\frac{LM}{BL}=LM=\frac{\sqrt{30}+\sqrt{10}-\sqrt{6}-\sqrt{2}-2\sqrt{15+3\sqrt{5}}+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16}$$
である。

８. $\pi >3.14$

円の面積は、半径$\times$半径$\times \pi$で求めることができる。
半径1のとき、円の面積＝$\pi$であるから、
半径1の円に内接する正120角形の面積$\approx$3.14015737より、$\pi >3.14$といえる。

９. おわりに

思い入れのある円周率を初記事として書けてよかったです。