Slaterの変換公式

今回は, $q$超幾何級数の一般的な変換公式であるSlaterの変換公式を示す. まず, $q=e^{-\omega},\omega>0$
\begin{align} P(z):=\frac{(a_1z,\dots,a_Az,b_1/z,\dots,b_B/z;q)_{\infty}}{(c_1z,\dots,c_Cz,d_1/z,\dots,d_D/z;q)_{\infty}} \end{align}
として,
\begin{align} I_m&:=\frac{\omega}{2\pi i}\int_{-i\pi/\omega}^{i\pi/\omega}P(q^s)q^{ms}\,ds \end{align}
を考える. 変数変換によって
\begin{align} I_m&=\frac 1{2\pi }\int_{-\pi}^{\pi}P(e^{i\theta})e^{im\theta}\,d\theta\\ &=\frac 1{2\pi i}\int_{K}P(z)z^{m-1}\,dz \end{align}
と書くことができる. ここで, $K$は単位円を$\frac 1{(c_1z,\dots c_Cz;q)_{\infty}}$が$K$の外側にのみ極を持ち, $\frac 1{(d_1/z,\dots,d_D/z;q)_{\infty}}$が$K$の内側にのみ極を持つように変形したものとする. $\delta$を$|d_iq^n|,|c_jq^{-n}|, 1\leq i\leq D, 1\leq j\leq C,n=0,1,2,\dots$のどれとも一致しないような正の数として, $C_N$を円周$|z|=\delta|q|^N$とする.
\begin{align} &|P(\delta q^N)(\delta q^N)^{m-1}|\\ &=\left|\frac{(a_1\delta q^N,\dots,a_A\delta q^N,b_1q^{-N}/\delta,\dots,b_Bq^{-N}/\delta;q)_{\infty}}{(c_1\delta q^N,\dots,c_C\delta q^N, d_1q^{-N}/\delta,\dots,d_Dq^{-N}/\delta;q)_{\infty}}\right||\delta q^N|^{m-1}\\ &=\left|\frac{(a_1\delta,\dots,a_A\delta,b_1/\delta,\dots,b_B/\delta;q)_{\infty}}{(c_1\delta,\dots,c_C\delta, d_1/\delta,\dots,d_D/\delta;q)_{\infty}}\right|\left|\frac{(c_1\delta,\dots,c_C\delta;q)_N}{(a_1\delta,\dots,a_A\delta;q)_N}\frac{(d_1/\delta,\dots,d_D/\delta;q)_{-N}}{(b_1/\delta,\dots,b_B/\delta;q)_{-N}}\right||\delta q^N|^{m-1}\\ &=\left|\frac{(a_1\delta,\dots,a_A\delta,b_1/\delta,\dots,b_B/\delta;q)_{\infty}}{(c_1\delta,\dots,c_C\delta, d_1/\delta,\dots,d_D/\delta;q)_{\infty}}\right|\left|\frac{(c_1\delta,\dots,c_C,\delta q/b_1,\dots,\delta q/b_B;q)_N}{(a_1\delta,\dots,a_A\delta,\delta q/d_1,\dots,\delta q/d_D;q)_N}\right|\left|\frac{b_1\dots b_B}{d_1\dots d_D}\right|^N|\delta^N q^{\binom{N+1}2}|^{D-B}|\delta q^N|^{m-1}\\ &=O\left(\left|\frac{b_1\dots b_Bq^{m-1}}{d_1\dots d_D}\right|^N|\delta^N q^{\binom{N+1}2}|^{D-B}\right) \end{align}
よって, $D>B$または, $D=B$かつ$\left|\frac{b_1\dots b_Bq^{m-1}}{d_1\dots d_D}\right|<1$ならば,
\begin{align} \lim_{N\to\infty}\int_{C_N}P(z)z^{m-1}\,dz=0 \end{align}
が成り立つ. よって, このような場合に$K$と$C_N$に囲まれた領域に留数定理を用いて, $N\to\infty$とすることによって, $I_m$の値は$K$の中の留数を足し合わせたものとして求めることができる.
\begin{align} \Res_{z=dq^n}\frac 1{(d/z;q)_{\infty}}&=\Res_{z=dq^n}\frac 1{1-dq^n/z}\frac 1{(d/z;q)_{n}(dq^{n+1}/z;q)_{\infty}}\\ &=\frac{dq^n}{(q^{-n};q)_{n}(q;q)_{\infty}}\\ &=\frac{(-1)^ndq^{2n+\binom n2}}{(q;q)_{n}(q;q)_{\infty}} \end{align}
となることから,
\begin{align} I_m&=\sum_{0\leq n}\frac{(a_1d_1q^n,\dots,a_Ad_1q^n,b_1q^{-n}/d_1,\dots,b_Bq^{-n}/d_1;q)_{\infty}}{(c_1d_1q^n,\dots,c_Cd_1q^n,d_2q^{-n}/d_1,\dots,d_Dq^{-n}/d_1;q)_{\infty}}\frac{(-1)^nd_1^mq^{mn+\binom{n+1}2}}{(q;q)_n(q;q)_{\infty}}\\ &\qquad+\mathrm{idem}(d_1;d_2,\dots,d_D)\\ &=\frac{(a_1d_1,\dots,a_Ad_1,b_1/d_1,\dots,b_B/d_1;q)_{\infty}}{(c_1d_1,\dots,c_Cd_1,d_2/d_1,\dots,d_D/d_1,q;q)_{\infty}}d_1^m\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(c_1d_1,\dots,c_Cd_1;q)_n(d_2/d_1,\dots,d_D/d_1;q)_{-n}}{(q,a_1d_1,\dots,a_Ad_1;q)_n(b_1/d_1,\dots,b_B/d_1;q)_{-n}}(-1)^nq^{mn+\binom{n+1}2}\\ &\qquad+\mathrm{idem}(d_1;d_2,\dots,d_D)\\ &=\frac{(a_1d_1,\dots,a_Ad_1,b_1/d_1,\dots,b_B/d_1;q)_{\infty}}{(c_1d_1,\dots,c_Cd_1,d_2/d_1,\dots,d_D/d_1,q;q)_{\infty}}d_1^m\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(c_1d_1,\dots,c_Cd_1,d_1q/b_1,\dots,d_1q/b_B;q)_n}{(q,a_1d_1,\dots,a_Ad_1,d_1q/d_2,\dots,d_1q/d_D;q)_n}\left(\frac{b_1\cdots b_Bq^m}{d_1\cdots d_D}\right)^n((-d_1)^nq^{\binom{n+1}2})^{D-B}\\ &\qquad+\mathrm{idem}(d_1;d_2,\dots,d_D) \end{align}
となる. ここで,
\begin{align} &f(t_1,\dots,t_n)+\mathrm{idem}(t_1;t_2,\dots,t_n)\\ &:=f(t_1,t_2,\dots,t_n)+f(t_2,t_1,t_3,\dots,t_n)+f(t_3,t_1,t_2,t_4,\dots,t_n)+\cdots+f(t_n,t_1,\dots,t_{n-1}) \end{align}
を表す. 一方, $z\mapsto z^{-1}$の変換を行うと, $C>A$または, $C=A$かつ$\left|\frac{a_1\cdots a_Aq^{-m}}{c_1\cdots c_C}\right|<1$ならば同様に
\begin{align} I_m&=\frac{(b_1c_1,\dots,b_Bc_1,a_1/c_1,\dots,a_A/c_1;q)_{\infty}}{(d_1c_1,\dots,d_Dc_1,c_2/c_1,\dots,c_C/c_1,q;q)_{\infty}}c_1^{-m}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(d_1c_1,\dots,d_Dc_1,c_1q/a_1,\dots,c_1q/a_A;q)_n}{(q,b_1c_1,\dots,b_Bc_1,c_1q/c_2,\dots,c_Cq/c_1;q)_n}((-c_1)^nq^{\binom{n+1}2})^{C-A}\left(\frac{a_1\cdots a_Aq^{-m}}{c_1\cdots c_C}\right)^n\\ &\qquad+\mathrm{idem}(c_1;c_2,\dots,c_C) \end{align}
が得られる. 特に, $C=A$ならば,
\begin{align} I_m&=\frac{(a_1d_1,\dots,a_Ad_1,b_1/d_1,\dots,b_B/d_1;q)_{\infty}}{(c_1d_1,\dots,c_Ad_1,d_2/d_1,\dots,d_D/d_1,q;q)_{\infty}}d_1^m\\ &\qquad\cdot\Q{A+B}{A+D-1}{c_1d_1,\dots,c_Ad_1,d_1q/b_1,\dots,d_1q/b_B}{a_1d_1,\dots,a_Ad_1,d_1q/d_2,\dots,d_1q/d_D}{\frac{b_1\cdots b_Bq^m}{d_1\dots d_D}(d_1q)^{D-B}}\\ &\qquad+\mathrm{idem}(d_1;d_2,\dots,d_D) \end{align}
また, $D=B$ならば,
\begin{align} I_m&=\frac{(b_1c_1,\dots,b_Bc_1,a_1/c_1,\dots,a_A/c_1;q)_{\infty}}{(d_1c_1,\dots,d_Bc_1,c_2/c_1,\dots,c_C/c_1,q;q)_{\infty}}c_1^{-m}\\ &\qquad\cdot\Q{A+B}{B+C-1}{d_1c_1,\dots,d_Bc_1,c_1q/a_1,\dots,c_1q/a_A}{b_1c_1,\dots,b_Bc_1,c_1q/c_2,\dots,c_1q/c_C}{\frac{a_1\cdots a_Aq^{-m}}{c_1\cdots c_C}(c_1q)^{C-A}}\\ &\qquad+\mathrm{idem}(c_1;c_2,\dots,c_C) \end{align}
である. よってこれらより, $C=A$かつ$D=B$ならば以下を得る.

定理1で$A\mapsto A+1,B\mapsto B+1$として, $a_{A+1}=q/z,b_{B+1}=z, m=0$とすると以下を得る.

定理1で$A=B=M+1, m=1$として先ほどの$P(z)$を
\begin{align} &\frac{(a_1qz/a_{M+2},\dots,a_1qz/a_{2M},\sqrt{a_1}qz,-\sqrt{a_1}qz;q)_{\infty}}{(a_1z,\dots,a_{M+1}z;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(q/a_{M+2}z,\dots,q/a_{2M}z,1/\sqrt{a_1}z,-1/\sqrt{a_1}z;q)_{\infty}}{(1/z,a_2/a_1z,\dots,a_{M+1}/a_1z;q)_{\infty}} \end{align}
と選ぶと,

\begin{align} &\frac{(a_1q/a_{M+2},\dots,a_1q/a_{2M},\sqrt{a_1}q,-\sqrt{a_1}q,q/a_{M+2},\dots,q/a_{2M},1/\sqrt{a_1},-1/\sqrt{a_1};q)_{\infty}}{(a_1,\dots,a_{M+1},a_2/a_1,\dots,a_{M+1}/a_1,q;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q{2M}{2M-1}{a_1,\dots,a_{2M}}{a_1q/a_2,\dots,a_1q/a_{2M}}{-\frac{(a_1q)^{M}}{a_1\cdots a_{2M}}}\\ &\qquad+\frac{(a_2q/a_{M+2},\dots,a_2q/a_{2M},a_2q/\sqrt{a_1},-a_2q/\sqrt{a_1},a_1q/a_2a_{M+2},\dots,a_1q/a_2a_{2M},\sqrt{a_1}/a_2,-\sqrt{a_1}/a_2;q)_{\infty}}{(a_2,a_2^2/a_1,a_2a_3/a_1,\dots,a_2a_{M+1}/a_1,a_1/a_2,a_3/a_2,\dots,a_{M+1}/a_2,q;q)_{\infty}}\frac{a_2}{a_1}\\ &\qquad\cdot\Q{2M}{2M-1}{a_2,a_2^2/a_1,a_2a_3/a_1,\dots,a_2a_{2M}/a_1}{a_2q/a_1,a_2q/a_3,\dots,a_2q/a_{2M}}{-\frac{(a_1q)^{M}}{a_1\cdots a_{2M}}}\\ &\qquad+\mathrm{idem}(a_2;a_3,\dots,a_{M+1})\\ &=\frac{(a_1q/a_{M+2},\dots,a_1q/a_{2M},\sqrt{a_1},-\sqrt{a_1},q/a_{M+2},\dots,q/a_{2M},q/\sqrt{a_1},-q/\sqrt{a_1};q)_{\infty}}{(a_1,\dots,a_{M+1},a_2/a_1,\dots,a_{M+1}/a_1,q;q)_{\infty}}a_1^{-1}\\ &\qquad\cdot\Q{2M}{2M-1}{a_1,\dots,a_{2M}}{a_1q/a_2,\dots,a_1q/a_{2M}}{-\frac{(a_1q)^M}{a_1\cdots a_{2M}}}\\ &\qquad+\frac{(a_2q/a_{M+2},\dots,a_2q/a_{2M},a_2/\sqrt{a_1},-a_2/\sqrt{a_1},a_1q/a_2a_{M+2},\dots,a_1q/a_2a_{2M},\sqrt{a_1}q/a_2,-\sqrt{a_1}q/a_2;q)_{\infty}}{(a_2,a_2^2/a_1,a_2a_3/a_1,\dots,a_2a_{M+1}/a_1,a_1/a_2,a_3/a_2,\dots,a_{M+1}/a_2,q;q)_{\infty}}a_2^{-1}\\ &\qquad\cdot\Q{2M}{2M-1}{a_2,a_2^2/a_1,a_2a_3/a_1,\dots,a_2a_{2M}/a_1}{a_2q/a_1,a_2q/a_3,\dots,a_2q/a_{2M}}{-\frac{(a_1q)^M}{a_1\cdots a_{2M}}}\\ &\qquad+\mathrm{idem}(a_2;a_3,\dots,a_{M+1}) \end{align}
よって,
\begin{align} (\sqrt a_1q,-\sqrt a_1q,1/\sqrt{a_1},-1/\sqrt{a_1};q)_{\infty}&=-a_1^{-1}(\sqrt{a_1},-\sqrt{a_1},q/\sqrt{a_1},-q/\sqrt{a_1}) \end{align}
などを用いて項をまとめると, 以下を得る.

この公式の興味深いところは, 通常の場合と比較して項が半分になっていることである.