平方数を語りたい

初記事ということで、僕の好きな「平方数」についてだらだら話していこうと思います。

目次

・和と差の積
　・素因数分解への応用
　・差が1だったら？

・平方数を覚えよう
　・11²～39²
　・41²～49²
　・51²～59²
　・それ以降

和と差の積

平方数といえば和と差の積。和と差の積といえば平方数。
俺が平方数好きな理由の9割がこいつ

素因数分解への応用

とりあえず例を見てみよう。

391　←一見素数っぽいが、
= 400−9
= 20²−3²　と気づけてしまえば
= (20−3)(20+3)
= 17⋅23　一瞬で素因数分解完了である

っていう例をあと3つほど出します

$667 = 26^2-3^2 = 23\cdot29$
$2021 = 45^2-2^2 = 43\cdot47$
$10001 = 105^2-32^2 = 73\cdot137$

こんな感じで、気づければすごく気持ちいい！
最後のは105² = 11025を見てふと気づいたとき脳汁止まらなかった記憶

まぁただ、毎回都合よくすぐ平方の差が見つかることもないので、見つからなかったら普通に3, 1001, 102, 19, 2001, 31, ...と順に調べていくしかない。
(3乗の因数分解公式を使う手もあるが、めんどくさいので普通に割ってった方がはやい)

差が1だったら？

$a,b\inℕ$について、$a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$ である。
ここで、$a-b = 1$つまりaとbの差が1であれば、
$$a^2-b^2 = a+b$$
こんな便利な関係式が得られる。
具体的には、
3²に3+4を足せば4²、4²に4+5を足せば5²という感じ。面白い！
これがどういうときに便利かというと、例えば
39²を求めるときには、
40²から(40+39)を引くだけでよいのだ
すなわち 1600−79 = 1521　(これでいつでもミクミクできる！)
同様に41²も 1600 + 40+41 = 1681

つまり、求めやすい平方数の前後の平方数はすぐに求められるということ！インド式計算で1の位が5の平方数もすぐ求められるので、これはでかい！！

平方数を覚えよう

平方数の魅力が分かってきたところだと思うが、素因数分解の応用で見た通り、26²=676とかをそもそも覚えてないと使い物にならない。
なので実際に覚えよう！！！覚え方や導出の仕方、余談など交えながらいきます！

11²～39²

・11² = 121
111² = 12321, 1111² = 1234321 とか左右対称になってておもろいよね。掛け算の筆算考えたらそりゃそうだけども

・12² = 144
何回も見たことある

・13² = 169
実は12と13は位を入れ替えると2乗した値も位が入れ替わる
12² = 144, 13² = 169
21² = 441, 31² = 961
14は4²が繰り上がってしまうので✕

・14² = 196
「−196℃」とか見ると14²だ！って思うよね

・15² = 225
インド式で出せるが覚えた方がはやい

・16² = 256
みんな大好き2⁸

・17² = 289
ピタゴラス数8,15,17でおなじみ
(覚え方：背後815にイナ17バウアー)

・18² = 324
これ覚えてれば323 = 17⋅19ってすぐわかる

・19² = 361
ｲｸｲｸは寒いってよ

・21² = 441
12²の左右反転

・22² = 484
22² = 2²⋅11²

・23² = 529
にーさん　おにく

・24² = 576
ピタゴラス数7,24,25でおなじみ
忘れたら25²から25+24=49を引く

・25² = 625
インド式で出せるが5⁴として覚えた方がいい

・26² = 676
625+25+26

・27² = 729
3⁶

・28² = 784
完全数の中で28がいちばんすき

・29² = 841
900−30−29

・31² = 961
13²の左右反転

・32² = 1024
みんな大好き2¹⁰

・33² = 1089
1089って33²感ある

・34² = 1156
いいごろ

・35² = 1225
12/25は平方数の日
イルミネーションを見に行くのはたぶん、平方数を祝ってるんだと思う

・36² = 1296
6⁴

・37² = 1369
覚えやすすぎる

・38² = 1444
覚えやすすぎる
関連動画(えびまラボ)

・39² = 1521
1600−40−39

お疲れ様です！！！！！
41²～59²は、簡単に導出できます！

41²～49²

これを用いて計算します
41² = (15+1)⋅100 + 81 = 1681
42² = 1700 + 64 = 1764
43² = 1849
44² = 1936
45² = 2025
46² = 2116
47² = 2209
48² = 2304
49² = 2401

こう見ると九の段みがある

51²～59²

41²～49²より簡単です

51² = 2601
52² = 2704
53² = 2809
54² = 2916
55² = 3025
56² = 3136
57² = 3249
58² = 3364
59² = 3481

55² = 3025 は
5⁵ = 3125 と紛らわしいので注意！

61²以降

51²～59²と同じノリで
61² = 3600 + 121 = 3721
62² = 3700 + 144 = 3844
63² = 3800 + 169 = 3969
このくらいならいけるが、以降はさすがにめんどくさくなってくるので
気合で覚えよう！

91²～109²はさっきと同様に100からの差の2乗で
1の位が5の数はインド式で
1の位が1,4,6,9だったら引いたり足したりして
多少は楽できると思います！

終わり

僕の初記事、どうでしたでしょうか？
平方数を見る目、変わったかな？そうだったらうれしいです！
見てくださりありがとうございました！