自作問題紹介(+蛇足)

119

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

SMC( https://jmosmc.crayonsite.com ) にて出題した自作問題の紹介と解説をしたいと思います。

問題( https://pororocca.com/problem/1317/ )

　 $100 \times 100$ のマス目があります. 左から $i$ 列目, 上から $j$ 行目のマスをマス $(j - 1) \times 100 + i$ と呼ぶことにします. OMC 君は一般的な $6$ 面サイコロを $10000$ 回振り $k = 1, 2, \dots, 10000$ について $k$ 回目に出た目をマス $k$ に書き込みます. このとき以下の条件を満たすような目の出方を $M$ とします.

$k = 1, 2, \dots, 100$ について $k$ 行目に書かれた数字の総和は $2$ の倍数 .
$k = 1, 2, \dots, 100$ について $k$ 列目に書かれた数字の総和は $3$ の倍数 .

　 $M$ を求めてください.

解法 $1$

　マスに整数を書き込む順番は無視しても一般性を失わないから, $k$ 行 $k$ 列目( $k = 1, 2, \dots, 100$ )以外(すなわち左上から右下にかける対角線を除いた全マス)に既に数が書き込まれているとする. このとき, 以下が成立.

$k = 1, 2, \dots, 100$ について $k$ 行目に書かれた数字の総和が $2$ の倍数となりかつ $k$ 列目に書かれた数字の総和が $3$ の倍数となるように $k$ 行 $k$ 列目に書き込まれるべき数は中国剰余定理より常に $1$ 通り .

したがって, $M = 6^{100 \times 100 - 100}$ .

解法2(蛇足)
　 $i$ 行 $j$ 列目に書き込まれた数を $a_{i, j}$ とする. このとき条件は以下が成立することである.

$P_{i} = a_{i, 1} + a_{i, 2} + \dots + a_{i, 100} \equiv 0 (\mod 2) (i = 1, 2, \dots, 100)$
$Q_{i} = a_{1, i} + a_{2, i} + \dots + a_{100, i} \equiv 0 (\mod 3) (i = 1, 2, \dots, 100)$

ここで, $P_{i}$ に変数 $x_{i}$ を対応づけて, $Q_{i}$ に変数 $y_{i}$ を対応づけると, $M$ は以下の多項式を展開したとき, $x_{i} (i = 1, 2, \dots, 100)$ の次数が偶数かつ, $y_{i} (i = 1, 2, \dots, 100)$ の次数が $3$ の倍数である項の係数の総和である.
$F = \prod_{i = 1}^{100} \prod_{j = 1}^{100} (x_{i} y_{j} + x_{i}^{2} y_{j}^{2} + x_{i}^{3} y_{j}^{3} + x_{i}^{4} y_{j}^{4} + x_{i}^{5} y_{j}^{5} + x_{i}^{6} y_{j}^{6})$
　
したがって, これは $F$ に $x_{i} \in {1, - 1}, y_{i} \in {1, ω, ω^{2}} (i = 1, 2, \dots, 100)$ を満たす $2^{100} 3^{100}$ 通りの複素数の組 $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{100}, y_{1}, y_{2}, \dots, y_{100})$ を代入した値の平均である. $x_{i} y_{j} \in {- 1, ω, - ω, ω^{2}, - ω^{2}}$ なる $i, j$ が存在するとき, $F = 0$ となるから $(x_{1}, \dots, x_{100}, y_{1}, \dots, y_{100}) = (1, 1, \dots, 1)$ を代入したときの $F = 6^{100 \times 100}$ を $2^{100} 3^{100}$ で割った値が $M = 6^{9900}$ である.