クラスの女子に対して可愛さで順序を導入しよう!

タイトルが下品ですね。まあ、ラノベのタイトルにキレたから書いただけなので仕方ないです。あと、少し気になるところに問題を出しました。結構ありますが、読みにくかったら飛ばしてもいいです。また、全部取り組んでもいいです。

まず、小学校や中学校、高校など学校のクラス(集合論でのクラスではなく)に女子が２人以上いるとしてその子たちの可愛さに対して順序(もしくは前順序)を入れることを考えます。

ここでクラスの女子の集合を「女子」をローマ字で表したときの頭文字から取ってJとして、Jに対して女子a,b∈Jとしてbがaと同等かaより可愛いという二項関係をa≤bと表すことにします。二項関係とはある集合の直積の部分集合のうち関係がある集合のことです。簡単に言えばある要素と要素の間に成り立つ関係のことです。
このときの≤の説明は2つの二項関係が合わさったような書き方ですが、一旦これを一つの二項関係として扱います。
このときの可愛さの比較基準は今回の話において全く関係ないので、このときにa≤bとする基準は別になんでもいいです。顔だろうが仕草だろうが声だろうが出席番号だろうがそれらを組み合わせようがそうでなかろうが自由です。
また、この二項関係≤について以下のような性質を考えます。
(i)反射律…任意のa∈Jについてa≤a
(ii)推移律…任意のa,b,c∈Jについてa≤b∧b≤c$\Rightarrow$a≤c
∧はともに満たすことを、$\Rightarrow$は左が成り立つときは右が成り立つことをを意味します。≤が(i),(ii)をともに満たすとき、≤を前順序と呼びます。ここで、クラスの女子の集合にその可愛さの比較を入れたものを(J,≤)と表すこととします。このとき、(J,≤)を前順序集合と呼びます。まあ、(ii)はともかく仮定から(i)は自明ですね。例えばクラスの人たちの交友関係のようなものなどは(i),(ii)を共に満たさない二項関係です。

因みに1.と3.の答えのうちそれぞれ一つは後で出てきます。2.のうちさらに条件を加えたものも後で扱います。楽しみに待っていてください。ただ、この問題を初見でやるときには、それをこの文章から探すよりも自分で考えるか周りの人やAIとかに聞いた方がいいです。

また、(ii)もそこまで厳しい条件ではないと思います。それを満たす二項関係を考えることは容易だと思います。
なので、さらに追加条件を入れた二項関係を考えます。
まずは、次のような性質を考えます。
(iii)対称律…任意のa,b∈Jについてa≤b$\Leftrightarrow$b≤aが成り立つ。
$\Leftrightarrow$は左が成り立てば右が成り立ち、右が成り立てば左が成り立つという関係にあることを意味します。前順序≤が(iii)を満たすとき、≤を同値関係といいます。ここからは文章の中で(iii)を満たす≤のうち同程度の可愛さを持つなどの同値関係のことを≤で表さずに~で表すことがあります。さらに~で結ばれるもの同士を同一視したものをJ/~で表し、Jの商集合と呼びます。また、ここからは同値関係のうちa,b∈Jについて同一人物であるなど同一のものと考えられるという二項関係をa=bと定義し、a=bが成り立たないことを≠で表します。ここで出てきた$\Leftrightarrow$も命題に対する同値関係です。

ここで同値関係を元に次の性質(iii)'を考えます。
(iii)'反対称律…任意のa,b∈Jについてa≤b∧b≤a$\Rightarrow$a=bが成り立つ。
前順序≤が(iii)'を満たすとき、≤を半順序と呼びます。また、そのときの(J,≤)は半順序集合と呼びます。前順序≤についてa≤b∧b≤aを満たす任意のa,b∈Jに対してa~bと定義すれば~は(iii)を満たします。~で結ばれるもの同士を同一視することでJ/~を得られます。≤はJ/~に対して(iii)'を満たします。因みに$\Rightarrow$は命題に対する半順序です。

また、a,b∈Jに対してa≤bもしくはb≤aが成り立つときa,b∈Jを比較可能であるといいます。
他には次の性質(iv)を考えます。
(iv)全順序律…任意のa,b∈Jについてa≤bもしくはb≤aが成り立つ。
前順序≤が(iv)を満たすとき、≤を弱順序と呼びます。また、このときの(J,≤)は弱順序集合と呼びます。
前順序≤が(iii)'と(iv)のどちらも満たすときは≤を全順序と呼びます。また、そのときの(J,≤)は全順序集合と呼びます。

半順序≤が(iv)を満たさないことと、比較可能でないa,b∈Jが存在することは同値です。つまり、(iv)を満たさない二項関係からどちらがより可愛いかは言えないが同じでないという関係が考えられます。この二項関係をa,b∈Jが比較不能と呼びます。

ここからはa,b∈Jに対して(ii)の他に以下の性質を持つ二項関係<を考えます。a<bのときbはaよりも真にかわいいという意味とします。
(i)'非反射律…任意のa∈Jに対して¬(a<a)
¬(A)はAの否定を表します。(ii)の他にこれを満たす<を入れた(J,<)は狭義の半順序集合と呼びます。因みに二項関係≠は(i)'は満たしますが(ii)を満たしません。(iii)は満たします。
また、何故「狭義の前順序」と呼ばずに「狭義の半順序」と呼ぶかは以下の理由からです。
(i)',(ii)から、
(iii)"非対称律…任意のa,b∈Jについてa<bならば¬(b<a)
という性質が導けます。

狭義の弱順序集合は狭義の半順序集合の一つで、比較不能性にも推移律があるものをいいます。
更に狭義の半順序集合のうち、任意のa,b∈Jについて(iv)を$a \not = b$のときのみに緩めた条件を満たすものは狭義の全順序集合と呼びます。狭義の全順序では、
(v)三分律...任意のa,b∈Jについてa=b,a<b,b<aのうちどれか一つの関係のみが成り立つ。
という性質があります。

因みに冒頭の説明のように狭義の順序と同値関係のどちらかが成り立つことから通常の順序を導くことができます。冒頭の説明では順序とは限らないですが。
ここまで狭義の順序について説明していましたが、<という記号はここから先あまり出てこないです。a,b∈Jについて「a,bは比較可能である∧a,bの間には同値関係が成り立たない」とすれば狭義の順序を導入できるためです。

これまでの順序の左右を入れ替えた二項関係も考え、それを逆順序と呼びます。
半順序≤の逆順序≥は任意のa,b∈Jにおいてa≤bのときb≥aとします。狭義の半順序<の逆順序>は任意のa,b∈Jにおいてa<bのときb>aとします。$\Rightarrow$の逆順序は$\Leftarrow$です。

次に順序について写像というものを考えます。順序集合A,Bと写像f:A$\rightarrow$Bを考えます。
(a). 任意のa,b∈Aに対してx≤y$\Rightarrow$f(x)≤f(y)
となるときfは順序を保つといいます。
(b). 任意のa,b∈Aに対してx≤y$\Rightarrow$f(x)≥f(y)
となるときfは順序を逆にするといいます。
この(a),(b)を単調写像と言います。
(c). 任意のa,b∈Aに対してf(x)≤f(y)$\Rightarrow$x≤y
となるときfは順序を反映するといいます。
(d). 任意のa,b∈Aに対してf(x)≤f(y)$\Leftrightarrow$x≤y
となるときfは順序埋め込みといいます。
fが順序埋め込みな全単射であるときfを順序同型写像といい、AとBを順序同型といいます。
逆順序は同じ集合に対して順序を逆にする写像を用いたものだと考えることができます。

次に順序集合の性質についてです。この記事では冒頭に述べたことからJが元が１つ以上存在する有限集合だと分かります。そのため、(J,≤)が半順序集合なら極大元が存在します。つまり、y∈Jについてx≤y$\Rightarrow$x~yが成り立つある元x∈Jが存在します。言い換えると今回ではその子をかわいさで上回る女子がいないという女子がそのクラスに1人以上存在するということに相当します。

また、あるa∈Jについて任意のy∈Jに対してy≤aが成り立つときaをJの最大元と呼びます。最大元は極大元の性質を持っています。

最大元は存在しないこともあります。一見2つ以上あってもよさそうですが、J/~について考えれば最大元は存在しても一つになります。つまり、この元はクラスで一番かわいい女子もしくはそのグループに相当します。

よく考えたらこの問題の1.は定義から示せる命題の対偶を取るだけだった。まあ、対偶を取る練習ということにしよう。
また、極大元や最大元の双対的な概念として極小元や最小元という概念もあります。
極小元はあるx∈Jについてy∈Jがy≤x$\Rightarrow$x~yが成り立つときの元xであり、最小元はあるa∈Jについて任意のy∈Jに対してa≤yが成り立つときのaです。≤の左右をひっくり返して極大元と最大元について考えれば極大元や最大元と対になることが分かります。

(J,≤)が全順序集合なら整列集合です。(J,≤)が全順序集合ならその全順序集合は1人以上取り出したときにその集合は必ず最小元を持ちます。つまり、≤が全順序ならばクラスで一番かわいくない女子が存在します。また、逆順序を考えるとその順序集合も整列集合なので、(J,≤)が全順序集合ならばクラスで一番かわいい女子も存在します。

これは難しいかも。まあ、整列集合だからどうという話はしないし、解けないなら飛ばしてもいいかも。
ここまで抽象的な内容でした。なので、具体例をここからは書きます。とは言ってもまだ抽象度高いですが。
まず、クラスの女子全員に対して「クラスでn番目に可愛い」とラベルを付けられる場合を見ていきます。順位タイがいないときは狭義の全順序を入れたものと考えることができます。むしろそれはクラスの女子の人数と同じ数だけ1から連続する自然数を取り出して通常の大小関係を入れた順序集合への順序を逆にする写像が与えられたものであり、整列集合であると言えます。

さっき説明した順序写像を使えば自明と言ってもいいかも？

順位タイの女子がいる場合は、同じ順位の女子a,bの関係をa~bであるとし、J/~を考えるとその順序集合は全順序集合になります。a≠bであることを元に比較不能とすれば半順序集合です。さらに自分自身とも比較できないとすれば狭義の弱順序集合です。
クラスの女子に対して可愛さを元に、左右差のないTier表にまとめたとします。このとき、Tierを跨いだときに要素間での比較が常に可能ならば同じTierの女子の関係を順位タイとみなせば順位タイがいる順位付けと同様です。そうでなくてもTier表を作る際の比較が(ii)を満たす場合は半順序集合になるのでTier表は基本的に半順序集合になります。

因みに、Tier内で左右差がある場合はTierをまたいだ比較が常に可能なら全順序です。

また、クラスの女子が自分自身と比較可能であり、自分自身以外の女子全員と比較可能でないという二項関係を考えます。この順序関係は(ii)と(iii)'を自動的に満たすので、このような集合は半順序集合です。この半順序を自明な半順序と呼びます。これは全員違った可愛さを持っていて比較できないという主張と対応しています。

全員に同値関係を認めたものも半順序と考えられるかもしれません。
因みに、二項関係は有向グラフと見なすことができます。特に有限半順序集合を表す際には、ハッセ図というものがあります。ハッセ図は半順序が推移律や反射律を満たすことからその規則に従って辺を省略した有向グラフを図示したものです。また、狭義の順序についても反射律を非反射律に置き換えただけなのでハッセ図で表せます。まあ、半順序だったところでハッセ図をわざわざ描くのは女子を一方的に評価しているという話でなくても変態的ですが。

因みに(J,≠)そのものは(i)も(ii)も満たしていないので前順序集合ではないです。また、前に触れたように(i)'は満たしますが(ii)を満たさないので狭義の順序集合でもないです。しかし、(J,≠)を元にa,b∈Jにおいて自分自身とは比較可能であり、a≠bならば比較不能とすれば自明な半順序を導けます。というより(J,=)や(J,≠)が自明な半順序と対応しているといった方が適切かもしれないです。

ついでに(J,≠)以外の前順序集合ではない二項関係を入れた集合の具体例を紹介します。思いつく人が多そうなケースとしては以下のようなものがあります。まず、クラスに女子が3人以上いてクラスの3人の女子a,b,cについてa≠b≠c≠aとします。次に、a≤b≤c≤aという三すくみを含み(i),(iii)'を満たす(J,≤)を考えます。このとき≤は(ii)を満たさないため順序ではないです。4人以上でも同様です。また、この状況に対してグラフ理論の「縮約」を行い一つに見なすことができる場合には順序になることもあります。

この問題、書いているときになんか自明じゃなさそうに見えたから問題にしたけど、よく考えたら下手に難しく考えられても困るし自明としていいかも。恐らく否定の導入で確認できるはず。
ここまで長い文章を読み終んでお疲れ様でした。これでクラスの女子に順序入れることに興味出てきましたか？クラスの女子に順序を入れるときは周りに気持ち悪がられないように気をつけましょう。
なんか書いてて思ったけど全体的に分かりにくいなこれ。なんならこれを読んで理解できるのに女子に対してかわいさで順序入れることに興味ある人間なんて居ないでしょ。

あと、これ大学数学とか計算機科学の類だな。これを読んで興味持つべきなのはむしろ数学とか計算機科学の方でしょ。

最後に、本来はJ/~とするべきところをJとしていたり、~とするべきところを=としている、もしくはその逆や、構造と集合と関係を混同しているなどの間違いや説明が分かりにくいところ、問題を入れてほしいなど気になることがあったら気軽にコメントで教えてください。