階乗の逆数

導入

非常にきれいな等式を見つけたので紹介します。
$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{m}{n(n+1)(n+2)\cdots (n+m)}=\frac{1}{m!}(m\ge 1)$$
例えば$m=1$とすれば、
$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)}=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots =1$$
という高校数学でもよく知られた無限級数となります。今回はそれの一般化ということですね。
更にこの級数等式の素晴らしいところは、(導出時は全然別の方法で導出しましたが)高校数学の範囲のみで証明可能なところです。
さっそく証明していきましょう。

導出

数学的帰納法を用います。

非常に簡明に証明できますね。何かに利用できるというわけではないですが、
大変綺麗な等式です。
この等式を少しいじることで、
$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{{}_{\mathrm{n}+\mathrm{m}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{m}}}=\frac{1}{m-1}(m\ge 2)$$
という二項係数の逆数和も得られます。実際には見つけた順番は逆ですが。

応用

せっかく見つけたこの式、何かに利用できないでしょうか。
階乗の逆数でまず考えつくのは$e^x$のマクローリン展開です。
$$e^x=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^m}{m!}$$
この式の${\displaystyle \frac{1}{m!}}$に今回の等式を適用してみましょう。ただし、$m=0$の場合は除きます。
$$e^x=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^m}{m!}=1+\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^m\cdot \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{m}{n(n+1)(n+2)\cdots (n+m)}$$
総和記号を交換し、少し変形します。
$$\frac{e^x-1}{x}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{m{x}^{m-1}}{n(n+1)(n+2)\cdots (n+m)}$$
両辺を$0<x<1$の範囲で積分します。
$${\int }_0^1\frac{e^x-1}{x}dx=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)(n+2)\cdots (n+m)}$$
こんな等式が得られました。あとは左辺の定積分を計算して、と行きたいところですが、
実際にはこの定積分は初等関数の範囲では表せません。
指数積分${\displaystyle {\mathrm{E}}_{\mathrm{i}}(\mathrm{x})={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x\frac{e^t}{t}dt}$および、オイラーの定数${\displaystyle \gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln \left(n\right))}$を用いて、
$${\int }_0^1\frac{e^x-1}{x}dx=\mathrm{Ei}\left(1\right)-\gamma =1.31790...$$と表すことができます。
以上。