円周率にまつわる級数

まえがき

$_{2n} \mathrm{C}_n$の母関数関係をいじっていると円周率に関する式が得られたのでその導出方法を示しておこうと思います.

得られた級数について

※これらの式の導出に積分と極限の入れ替えを行っています. この辺の議論をちゃんとできた人がいれば教えてくださるとありがたいです.

証明

公式1に $x=\sin^2 \theta$ を代入すると
\begin{align*} \sum^{\infty} _{n=0} \frac{ _{2n} \mathrm{C} _n}{4^{n}}\sin^{2n}\theta &=\frac{1}{|\cos\theta|} \\ \sum^{\infty} _{n=0} \frac{ _{2n} \mathrm{C} _n}{4^{n}}\sin^{2n}\theta |\cos\theta| &=1 \cdots(\ast) \\ \sum^{\infty} _{n=0} \frac{ _{2n} \mathrm{C} _n}{4^{n}}\sin^{2n}\theta \cos^2\theta &=|\cos\theta|\cdots(\ast \ast) \end{align*}

(i),(ii)の証明

$(\ast)$ の式の両辺を $[0\to\frac{\pi}{2}]$で積分すると,
\begin{align*} \int_0 ^{\frac{\pi}{2}} \sum^{\infty} _{n=0} \frac{ _{2n} \mathrm{C} _n}{4^{n}}\sin^{2n}\theta \cos\theta \ d\theta&=\int_0 ^{\frac{\pi}{2}} 1 \ d\theta\\ \sum^{\infty} _{n=0} \frac{ _{2n} \mathrm{C} _n}{4^{n}} \int_0 ^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n}\theta \cos\theta \ d\theta&=\frac{\pi}{2} \\ \sum^{\infty} _{n=0} \frac{ _{2n} \mathrm{C} _n}{4^{n}} \big[ \frac{1}{2n+1} \sin^{2n+1}\theta \big]_0 ^\frac{\pi}{2} &=\frac{\pi}{2} \\ \sum^{\infty} _{n=0} \frac{ _{2n} \mathrm{C} _n}{4^{n}(2n+1)} &=\frac{\pi}{2} \\ \end{align*}
よって(i)を示せた.
同様に$(\ast)$ の式の両辺を $[0\to\frac{\pi}{6}]$で積分すると,
\begin{align*} \int_0 ^{\frac{\pi}{6}} \sum^{\infty} _{n=0} \frac{ _{2n} \mathrm{C} _n}{4^{n}}\sin^{2n}\theta \cos\theta \ d\theta&=\int_0 ^{\frac{\pi}{6}} 1 \ d\theta\\ \sum^{\infty} _{n=0} \frac{ _{2n} \mathrm{C} _n}{4^{n}} \big[ \frac{1}{2n+1} \sin^{2n+1}\theta \big]_0 ^\frac{\pi}{6} &=\frac{\pi}{6} \\ \sum^{\infty} _{n=0} \frac{ _{2n} \mathrm{C} _n}{4^{2n}(2n+1)} &=\frac{\pi}{3} \\ \end{align*}
となり, (ii)を示せた.

(iii)の証明

有名問題なので証明略

$(\ast\ast)$ の式の両辺を $[0\to\frac{\pi}{2}]$で積分すると,
\begin{align*} \int_0 ^{\frac{\pi}{2}} \sum^{\infty} _{n=0} \frac{ _{2n} \mathrm{C} _n}{4^{n}}\sin^{2n}\theta \cos^2\theta \ d\theta&=\int_0 ^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta \ d\theta\\ \sum^{\infty} _{n=0} \frac{ _{2n} \mathrm{C} _n}{4^{n}} \int_0 ^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n}\theta (1-\sin^2\theta) \ d\theta&=1\\ \sum^{\infty} _{n=0} \frac{\pi}{2}\cdot \frac{ _{2n} \mathrm{C} _n}{4^{n}} (\frac{ _{2n} \mathrm{C} _n}{4^{n}}-\frac{ _{2n+2} \mathrm{C} _{n+1}}{4^{n+1}})&=1\\ \sum^{\infty} _{n=0} \frac{\pi}{2}\cdot \frac{ (_{2n} \mathrm{C} _n)^2}{4^{2n}} (1-\frac{(2n+2)(2n+1)}{4(n+1)^2})&=1\\ \sum^{\infty} _{n=0} \frac{\pi}{2}\cdot \frac{ (_{2n} \mathrm{C} _n)^2}{4^{2n}} \frac{1}{2(n+1)}&=1\\ \sum^{\infty} _{n=0} \frac{ (_{2n} \mathrm{C} _n)^2}{4^{2n}(n+1)} &=\frac{4}{\pi} \end{align*}
よって(iii)を示せた.

あとがき

(ii)の収束速度はかなり速いっぽい. それ以外の式はあんまり有用性はなさそう...まあ, 面白い式を得られたので楽しかったです. 今後ともこういう系の式を発見し次第, 公開していこうと思っています!!