圏論における随伴 Part1
$\mathcal{C},\mathcal{D}$を圏，$F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$と$G:\mathcal{D}\rightarrow\mathcal{C}$を関手とします．
この時，二つのhom関手
$\text{Hom}_\mathcal{D}(F(-),-):\mathcal{C}^{\text{op}}\times \mathcal{D}\rightarrow \text{Set}$と
$\text{Hom}_\mathcal{C}(-,G(-)):\mathcal{C}^{\text{op}}\times \mathcal{D}\rightarrow \text{Set}$が自然同型であるとき，$F$は$G$の左随伴（または$G$は$F$の右随伴）であるといい，記号では$F\dashv G$と書く．
$\mathcal{C},\mathcal{D}$を圏，$F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$と$G:\mathcal{D}\rightarrow\mathcal{C}$を関手とします．
この時，二つの自然変換$\eta:id_\mathcal{C}\rightarrow GF$と$\varepsilon:FG\rightarrow id_\mathcal{D}$が存在し，これらが三角等式
$
\xymatrix{
FGF \ar[r]^-{\varepsilon F} &F& &G\\
F \ar[u]^{F\eta}\ar[ur]_{1_F} & &G\ar[ur]^{1_G}\ar[r]_-{\eta G}&GFG\ar[u]_{G\varepsilon}
}
$
を満たすとき，$\langle F,G,\eta,\varepsilon\rangle$を随伴と呼ぶ．また，$\eta$を単位（unit），$\varepsilon$を余単位(counit)と呼ぶ．
ここで，$F\eta$とは，二つの自然変換$\eta:id_\mathcal{C}\rightarrow GF$と$1_F:F\rightarrow F$の水平合成である．$\varepsilon F,\eta G,G\varepsilon$も同様に定義される．
随伴には別の定式化もありますが，それを述べるためにコンマ圏というものを定義します．
$\mathcal{A,B,C}$を圏，$F:\mathcal{A}\rightarrow \mathcal{B}$，$G:\mathcal{C}\rightarrow \mathcal{B}$を関手とします．
(1) 対象は$\langle X,Y,f\rangle$（$X$は$\mathcal{A}$の対象，$Y$は$\mathcal{C}$の対象，$f$は$F(X)$から$G(Y)$への射）である．
(2) $\langle X,Y,f\rangle$から$\langle X',Y',f'\rangle$への射は$\alpha:X\rightarrow X'$と$\beta:Y\rightarrow Y'$の組$\langle \alpha,\beta\rangle$で，次の図式を可換にするものである．
$$
\xymatrix{
FX\ar[r]^f\ar[d]_{F\alpha} &GY\ar[d]^{G\beta}\\
FX'\ar[r]_{f'}&GY'
}
$$
こうしてできた圏をコンマ圏と呼び，$(F\downarrow G)$と書く．
コンマ圏を用いて随伴を次のように定義する．
$\mathcal{C},\mathcal{D}$を圏，$F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$と$G:\mathcal{D}\rightarrow\mathcal{C}$を関手とします．
このとき，次のような自然変換$\eta:1_\mathcal{C}\rightarrow GF$が存在するならば，$F$は$G$の左随伴（または$G$は$F$の右随伴）であるという：任意の$X\in\text{Ob}(\mathcal{C})$について$\langle X,GF(X),\eta_X\rangle$は$(X\downarrow G)$の始対象である
ここで，$(X\downarrow G)$における関手$X$とは，$X\in\text{Ob}(\mathcal{C})$を関手$X:1\rightarrow\mathcal{C}$と見立てたものです（$1$は対象がただ1つの離散圏）
双対的に次のようにも定義できます．
$\mathcal{C},\mathcal{D}$を圏，$F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$と$G:\mathcal{D}\rightarrow\mathcal{C}$を関手とします．
このとき，次のような自然変換$\varepsilon:FG\rightarrow1_\mathcal{D}$が存在するならば，$F$は$G$の左随伴（または$G$は$F$の右随伴）であるという：任意の$Y\in\text{Ob}(\mathcal{D})$について$\langle FG(Y),Y,\varepsilon_Y\rangle$は$(F\downarrow Y)$の終対象である．
終わりに
次回はこれらの定義が同値であることを見ていきたいと思います．それでは．
