文献あり

圏論における随伴 Part1

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

随伴(1)

$C, D$ を圏， $F : C \to D$ と $G : D \to C$ を関手とします．
この時，二つのhom関手
${Hom}_{D} (F (-), -) : C^{op} \times D \to Set$ と
${Hom}_{C} (-, G (-)) : C^{op} \times D \to Set$ が自然同型であるとき， $F$ は $G$ の左随伴（または $G$ は $F$ の右随伴）であるといい，記号では $F ⊣ G$ と書く．

随伴(2)

$C, D$ を圏， $F : C \to D$ と $G : D \to C$ を関手とします．
この時，二つの自然変換 $η : i d_{C} \to G F$ と $ε : F G \to i d_{D}$ が存在し，これらが三角等式
$F G F ε F F G F F η 1_{F} G 1_{G} η G G F G G ε$
を満たすとき， $⟨ F, G, η, ε ⟩$ を随伴と呼ぶ．また， $η$ を単位（unit）， $ε$ を余単位(counit)と呼ぶ．

ここで， $F η$ とは，二つの自然変換 $η : i d_{C} \to G F$ と $1_{F} : F \to F$ の水平合成である． $ε F, η G, G ε$ も同様に定義される．

随伴には別の定式化もありますが，それを述べるためにコンマ圏というものを定義します．

コンマ圏

$A, B, C$ を圏， $F : A \to B$ ， $G : C \to B$ を関手とします．
(1) 対象は $⟨ X, Y, f ⟩$ （ $X$ は $A$ の対象， $Y$ は $C$ の対象， $f$ は $F (X)$ から $G (Y)$ への射）である．
(2) $⟨ X, Y, f ⟩$ から $⟨ X^{'}, Y^{'}, f^{'} ⟩$ への射は $α : X \to X^{'}$ と $β : Y \to Y^{'}$ の組 $⟨ α, β ⟩$ で，次の図式を可換にするものである．
$F X f F α G Y G β F X^{'} f^{'} G Y^{'}$
こうしてできた圏をコンマ圏と呼び， $(F ↓ G)$ と書く．

コンマ圏を用いて随伴を次のように定義する．

随伴(3)

$C, D$ を圏， $F : C \to D$ と $G : D \to C$ を関手とします．
このとき，次のような自然変換 $η : 1_{C} \to G F$ が存在するならば， $F$ は $G$ の左随伴（または $G$ は $F$ の右随伴）であるという：任意の $X \in Ob (C)$ について $⟨ *, F (X), η_{X} ⟩$ は $(X ↓ G)$ の始対象である．

ここで， $(X ↓ G)$ における関手 $X$ とは， $X \in Ob (C)$ を関手 $X : 1 \to C$ と見立てたものです（ $1$ は対象がただ1つの離散圏）．
双対的に次のようにも定義できます．

随伴(3)'

$C, D$ を圏， $F : C \to D$ と $G : D \to C$ を関手とします．
このとき，次のような自然変換 $ε : F G \to 1_{D}$ が存在するならば， $F$ は $G$ の左随伴（または $G$ は $F$ の右随伴）であるという：任意の $Y \in Ob (D)$ について $⟨ G (Y), *, ε_{Y} ⟩$ は $(F ↓ Y)$ の終対象である．