1≤r≤n⟹(nr)=(n−1r−1)+(n−1r)
(n−1r−1)+(n−1r)=(n−1)!(r−1)!(n−r)!+(n−1)!(r)!(n−r−1)!=(n−1)!(r−1)!(n−r−1)!(n−r)+(n−1)!(r−1)!(n−r−1)!(r) =(n−1)!(r)+(n−1)!(n−r)(r−1)!(n−r−1)!(n−r)(r) =(n−1)!(n)(r−1)!(r)(n−r−1)!(n−r) =n!r!(n−r) =(nr)
1+l=i⟹∑k=1n(k+li)=(n+l+11+i)
補題1より、より(n+l+11+i)=(n+li)+(n+l1+i)=(n+li)+(n+l−1i)+(n+l−11+i)=(n+li)+(n+l−1i)+(n+l−2i)+(n+l−21+i)⋯=(n+li)+(n+l−1i)+(n+l−2i)+⋯+(2+li)+(2+l1+i)1+l=i⟺2+l=1+iより=(n+li)+(n+l−1i)+(n+l−2i)+⋯+(2+li)+1=(n+li)+(n+l−1i)+(n+l−2i)+⋯+(2+li)+(1+li)=∑k=1n(k+li)
任意のn,iに対して以下が成り立つ.∑k1=1n(∑k2=1k1(⋯(∑ki=1ki−1ki)))=(n+i1+i)
1.i=1 の場合∑k1=1nk1=12n(n+1)=(n+12)=(n+i1+i)2.iで成り立つと仮定し、i+1 の場合∑k1=1n(∑k2=1k1(⋯(∑ki+1=1kiki+1)))=∑ki+1=1n(∑ki=1ki+1(⋯(∑k1=1k2k1)))=∑ki+1=1n(ki+1+i1+i)=(n+(i+1)1+(i+1))
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