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総和とコンビネーションの証明

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パスカルの三角形

1rn(nr)=(n1r1)+(n1r)

(n1r1)+(n1r)=(n1)!(r1)!(nr)!+(n1)!(r)!(nr1)!=(n1)!(r1)!(nr1)!(nr)+(n1)!(r1)!(nr1)!(r) =(n1)!(r)+(n1)!(nr)(r1)!(nr1)!(nr)(r) =(n1)!(n)(r1)!(r)(nr1)!(nr) =n!r!(nr) =(nr)

ホッケースティック恒等式

1+l=ik=1n(k+li)=(n+l+11+i)

補題1より、
(n+l+11+i)=(n+li)+(n+l1+i)=(n+li)+(n+l1i)+(n+l11+i)=(n+li)+(n+l1i)+(n+l2i)+(n+l21+i)=(n+li)+(n+l1i)+(n+l2i)++(2+li)+(2+l1+i)1+l=i2+l=1+i=(n+li)+(n+l1i)+(n+l2i)++(2+li)+1=(n+li)+(n+l1i)+(n+l2i)++(2+li)+(1+li)=k=1n(k+li)

総和とコンビネーション

任意のn,iに対して以下が成り立つ.
k1=1n(k2=1k1((ki=1ki1ki)))=(n+i1+i)

1.i=1 の場合
k1=1nk1=12n(n+1)=(n+12)=(n+i1+i)
2.iで成り立つと仮定し、i+1 の場合
k1=1n(k2=1k1((ki+1=1kiki+1)))=ki+1=1n(ki=1ki+1((k1=1k2k1)))=ki+1=1n(ki+1+i1+i)=(n+(i+1)1+(i+1))

投稿日:2023514
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12匁
12匁
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1896
直和の定義見て"集合として等しい"を知らずに背伸びしていたことに気づいたことがある。

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