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現代数学解説
文献あり

『トポロジーの基礎 上』 正誤表

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本記事では,河澄響矢著『トポロジーの基礎 上』(初版)で誤りと思われる点,およびその修正案を挙げます.また,(注意)として,誤りではないが注意が必要な箇所についても記述しました.一読者である私(ことり)が作成したものであるため,ミスがあるかもしれません.その場合の責任は全て作成者である私(ことり)にあります.

「向きを保つ」という用語の定義が見当たらなかったので,私の考えた定義をp.180,p.184,p.190の項目にそれぞれ載せています.

「l.-n」は,そのページの下からn行目を指します.

『トポロジーの基礎 上』 正誤表

p.19, l.-8

誤:(1.2.1)
正:(1.2.3)

p.39, l.-3

誤:0,...,0)
正:txp+q+1,...,txn)

p.46, l.5

「前半」と「後半」が逆.

p.50, l.-2

誤:(x0/xn:...:xn1/xn)
正:(x0/xn,...,xn1/xn)

p.52,l.10

誤:自己同型の全体はSO3に等しい
正:自己同型の全体はO3に等しい

p.52,l.14

誤:「φ:SU2SO3が定まる.」
正:「φ:SU2O3が定まる.φの連続性とSU2の連結性,およびO3の連結成分はSO3O3SO3とからなることからφ(SU2)SO3が言える.以下ではφ:SU2SO3と考える.」

p.66, l.8

誤:f(σ(1))=fφ0(σ)
正:f(σ(1))=f(φ0(σ))

p.80, l.7, l.8

誤:φϖ[μ]
正:φϖ(μ)

p.81, l.-6

誤: 1
正: n+1

p.82

可換図式中の2つの「Hn(U+U)」を「Hn1(U+U)」に修正.

p.94

問題2.3.2 解答例中の rv の定義は ill-defined.実際ϖ(0,f(x))=ϖ(1,x)であるにもかかわらず,rv(ϖ(0,f(x)))=f(f(x))rv(ϖ(1,x))=xとは等しいとは限らない.

rvの定義を次のように修正する:
0t<1/2 のとき rv(ϖ(t,x))=x
1/2<t1 のとき rv(ϖ(t,x))=f(x)

これに伴って以降の式も次のように修正する(S,Tの定め方は一意ではない):
rvi2/3=frvi1/3=1X
Aq(u,v)=(u+v,ufv)
S(u,v):=(u+v,u)
T(u,v):=(u+v,u)

p.104, l.-2

誤: maxxσ(Δn)
正: maxxΔn
p.105,l.5の{}の中も同様.

p.105, l.2

誤:βσSdn(nσ)
正:βσSdn1(nσ)

p.105,l.-1

誤:(Sdn)m(σ)
正:(Sdn)m(1n)
なおm(σ)を定義する文の中で,記号は定理2.4.12および補題2.4.13のものを引き継いでいる.特にσXΔnとしている.

p.109, l.2

誤:(p(1)p(1/2),p(1/2)p(1))
正:(p(1/2)p(1),p(1)p(1/2))

p.119, l.8

誤:l0=p=p1S1=φ1φ1
正:l0=p=1S1p=φ1p

p.121, l.11

誤:Iの閉集合であり
正:Iの開集合であり

p.121, l.11

誤:F(x,0)=F(x,0)=0
正:F(x,0)=F(x,0)=f(x)

p.121, l.-4

誤:Oi:={xX;...Wi}
正:Oi:={xX;...F1(Wi)}

p.128, l.-10, l.-9

(注意) ΠF(l×1I) とは, Π(F(l×1I)) のこと.

p.130, l.-13

誤:τ(l1)=0
正:τ(l)=0

p.140, l.-8

(注意) κ(l,P,{εi}) の中の {εi} は,(一点集合ではなく)族 {εi}1in のこと.

p.144, l.-10

誤:Xn
正:C{z1,z2,...,zn}
Xn の定義がないため)

p.146, l.2

(注意) [α1,β1] などは,p.150に定義される交換子.

p.147

問題3.2.3(1)の解答例中でUの定義がない.U:=X{x1} とする.

p.151, l.12

誤:一点 から ϵI
正:一点 から 1ϵI

p.153, l.-11

誤:1θ#1
正:1+θ#1

p.153, l.-9

φψ(l)=」から始まる式の各辺中で,l(0)l(1) が逆.また,右辺の (1θ#1)(l)(1+θ#1)(l) が正しい.

p.153, l.-7

誤:[u0]
正:[u+0]

p.169, l.4

両辺の「;M」を削除.

p.173, l.-3

誤:dnr
正:rdn

p.174, l.2

誤:rdn
正:dnr

p.180

(注意)局所的写像度の定義のあとに次の文言があってもいいかもしれない:

degp(f)=+1のとき,fpにおいて向きを保つという.

p.184

(注意)局所写像度の定義のあとに次の文言があってもいいかもしれない:

degxf=+1のとき,fは(xにおいて)向きを保つという.

例えば p.233, l.5の「向きを保つ」はこの意味である.

p.185, l.12

(注意) jL の定義がないが,jx などと同様,jL も単なる包含写像 (Rn,RnK)(Rn,RnL),yy である.(p.234を参照してほしい.)

p.190

(注意)局所的向きμpの定義のあとに次の文言があってもいいかもしれない(「向きを保つ」という用語の定義):

X,Yは向きつけられたn次元位相多様体とする.f:XYは連続写像,pXとする.fpで局所同相的(p.179)とする.UXXにおけるpの開近傍,VYYにおけるf(p)の開近傍とし,fの制限f|U:UVは同相であるとする.このとき,同型Hn(X,X{p})excHn(U,U{p})Hn(V,V{f(p)})excHn(Y,Y{f(p)})によるμpの像が+μf(p)のとき,fpにおいて向きを保つという.

例えばp.251, l.7の「向きを保つ」はこの意味である.

p.191, l.1

(注意)degp(f)とは,p.180で定義されたものである.p.184で定義されたものとは似ているが異なる.補題4.2.15の「いまの状況」には定理4.2.14の仮定も含んでいると解釈するといい.

p.193, l.12

誤:X{Z00}
正:X{Z00}

p.193, l.13

誤:X{Zi0}
正:X{Zi0}

p.194, l.1

(注意)#f1(q)#f1(q)を導くのは以下のようにすればよい.本の議論を少し修正する:

f(Upi)を改めてVpiとおき直すと,f|Upi:UpiVpiは同相になる.この写像の逆写像をgi:VpiUpiとおく.修正されたVpiたちに対して,本のようにVを定める.qVを任意にとる.このとき,写像{1,...,n}f1(q), igi(q)は,Upiたちの取り方により単射になる.よって#f1(q)n=#f1(q).

p.200, l.-2

誤:管状近傍をもつ
正:管状近傍Uをもつ
(次の文でUの定義がないため)

p.205, l.-11

誤:{zn=0}CPn1
正:{zn0}Cn

p.208, l.1

誤:(φλ(y),t)
正:φλ(y)

p.208, l.3

誤:(φλ×1[0,1])Fλ
正:φλFλ

p.219, l.-2

誤:k=1のときZ
正:k=1のときZ2

p.221, l.13

誤:自由基
正:自由基底

p.225

(注意)証明中のφ(|πP|×|πQ|)=1|K(P×Q)|を示す部分に出てくるτi,σj,ρkは,ti:=ak=irk,sj:=bk=jrkとおいたうえで,証明前半(p.224)のように定めたτi,σj,ρkである.

p.225, l.-13

誤:[L]
正:[L]{L}

p.226

補題4.4.8の証明中で,全ての「K(P)」を「|K(P)|」に修正し,全ての「K(P×[1])」を「|K(P×[1])|」に修正する.

p.227, l.-12

(注意)「2e2=±2ek1」とあるが,「あるϵ1,...,ϵn{±2}を用いて2e2=ϵkek1と書ける」とした方が適切かもしれない.もちろんek1たちの特性写像を適切に修正することで,ϵkたちの符号を揃えることはできる.

p.228, l.7

(注意)「q=0ncqtq=」で始まる等式中のtはただの変数である.

p.230, l.8

誤:u:=[z]
正:u:=[z]

p.230, l.9

誤:iu
正:iu

p.231,l.-10

ここに書かれている境界付き位相多様体の向き付け可能性の定義では,1次元多様体[a,b](R)が向き付け不可能になってしまうため,境界付き多様体の次元が1の場合については定義を修正する必要がある.p.230で座標近傍を定義する際に,n=1の場合はR+1の代わりに閉区間[0,1]を用いるとよいか.

著者からいただいたコメントを付しておく:

修正方法はいろいろありえます。

p.232

補題4.5.2証明中のhnはill-defined.実際,例えばn=3のとき,hn(1,0,0,0)=(1,1,0)Dの元でない.Dを閉直方体とするか,hnに原点を中心とする縮小写像を合成することで修正できる.

p.233

ページ中央の可換図式で,1番右の縦の射を(rf)とする.(連続写像f:D1D2が定義されるとは限らないため,fはここには書けない.)また,右から2つ目の縦の射も括弧をつけて(rf)とする.

上記に対して著者からいただいたコメントを付しておく:

右から2つ目はそのとおりで、未修正です。
一方、一番右は切除同型を介して fが定義できています。

私(ことり)としては本の1番右の縦の射はやっぱり(rf)とした上で,本の可換図式の右端に次の図式を書き加えるのがよいと思うのだがどうだろう:

Hn1(D1,D1{q1})fHn1(D2,D2{q2})

(ただし,包含DiDi×[0,ρi],x(x,0)qiに写るDiの元のこともqiと書いている.横の射は2本とも切除同型)

p.237, l.-11

(注意)φとは,上に書かれている同型Hn(X,XK)Hn(Rn,Rnφ(K))のこと.

p.237, l.-10

誤:Hn(Rn,Rn{φ(K)})
正:Hn(Rn,Rnφ(K))

p.237, l.-6

誤:(3-2)
正:(3-1)

p.240,

l.-12からl.-8までのXを全てX^に変更.

p.241, l.2

誤:Hn(U,O^)
正:Hn(U,UO^)

p.242, l.6

i1, i0の定義がない.次のように定義する(l.12も参照):

ϵ{0,1}に対して,iϵ:XX^,x(x,ϵ)

p.242, l.-5

誤:(UX)×[1,2[
正:]2,2[n1×[1,2[
(p.243, l.1, l.-9も同じ)

p.242, l.-3

誤:gφ1
正:gφ^1
(p.243, l.2, l.-5も同様)

p.243, l.11

誤:X^=X^α1
正:X^=X^α0

p.248, l.3

誤:Hn(X)
正:Hn(X,X)

p.248, l.-7

(注意)(d)または((b)かつ境界が空でない場合)にHn(X)=0となることは次のようにしてわかる:
p.231で見たようにXX^とホモトピー同値であり,X^はコンパクトでないことから(a)に帰着できる.

p.249, l.-6

(注意)ψp0の定義は,以下のようにした方がより正確:

ψp0:Vp0×]12,12[F(Up0×]0,1[),(φp0(p),t)F(p,t+12)

p.250

(注意)補題4.5.16のXは定理4.5.13の条件を満たすとする.

p.250, l.7

(注意)「境界のホモロジー的に誘導された向きに関する正の生成元」という表現が私には難しいと感じたので,メモを残しておく.(正確性に欠けるかもしれない.)

結論から言うと,「境界のホモロジー的に誘導された向きに関する正の生成元」とは,要するに(1)nμqHn1(X,X{q})のことである.少し説明しよう.

Xがアトラス{(Uα,φα,Vα)}αAにより向き付けられているとする.このアトラスを境界Xに制限したもの({(Uα,φα,Vα)}αAと書くことにする)は,Xのアトラスになり,Xを向き付ける(p.233参照).qXについて,qの(Xにおける)座標近傍(Uα0,φα0,Vα0)(α0A)を1つとったときに,μq:=(φα01)μφα0μqの定義である(p.189参照).なおx:=φα0Rnに対してのμx=μφα0の定義はp.183にある.
さて,p.233, l.-7以降を見てほしい.このμqが,XからX幾何的に誘導された(qにおける)向きである.ホモロジー的に誘導された向きは,Xの次元nが偶数のときは幾何的に誘導された向きと同一,奇数のときは逆,と定義されているので,これに(1)nをかけたものが,そうである.つまり,XからXホモロジー的に誘導された(qにおける)向きは,(1)nμqである,ということになる.
(「正の生成元」という言葉は,今注目している生成元(ここでは(1)nμq)に一致するものを正の生成元と呼んでいるだけである.)

p.253, l.4

(注意)「DnおよびSn1X,YおよびX#Yの部分多様体とみなす」とは,DnX,Yの部分多様体とみなし,Sn1X,Y,X#Yの部分多様体とみなす,という意味である.

p.253, l.-8

誤:fα
正:fα

p.253, l.-7

誤:fの望む連続な拡張
正:fの望む連続な拡張

p.254, l.-9

誤:(Y(V1V2))
正:(B(V1V2))

p.257,l.-5

Uの定義がない.U:=S3k(S1)とする.

p.258, l.1

このS1×[ϵ,ϵ]Eϵはill-defined.実際,((cosθ,sinθ),0)([0:0],(0,0))だが,[0:0]RP1というものは定義されない.次のように定義を修正する:
((cosθ,sinθ),u)([cosθ:sinθ],(ucosθ,usinθ))

p.258, l.4

誤:(ϵs0,ϵs1)
正:(s0/ϵ,s1/ϵ)

もしおかしなところがあれば,教えていただければと思います.よろしくお願いします.また,この正誤表には,私以外の方が見つけた誤りもいくつか含んでいます.見つけてくださった方には感謝申し上げます.ありがとうございました.

(編集ログ)
(2024/2/26)出版社に誤りの報告を行なったところ,担当の方を介して著者から各項目に対してコメントをいただきました.それに基づいて,いくつかの項目を修正をしました.特に,p.222,l.-5の項目については,私の勘違いで,本の通りで正しかったため,項目を削除しました.
なおこの正誤表は,初版に対するものであり,第2刷(以降)ですでに修正されているものも含んでいます.

参考文献

[1]
河澄響矢, トポロジーの基礎上, 東京大学出版会, 2022
投稿日:2024130
更新日:2024812
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  71. p.250, l.7
  72. p.253, l.4
  73. p.253, l.-8
  74. p.253, l.-7
  75. p.254, l.-9
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  79. 参考文献