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現代数学解説
文献あり

『トポロジーの基礎 上』 正誤表

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本記事では,河澄響矢著『トポロジーの基礎 上』(初版)で誤りと思われる点,およびその修正案を挙げます.また,(注意)として,誤りではないが注意が必要な箇所についても記述しました.一読者である私(ことり)が作成したものであるため,ミスがあるかもしれません.その場合の責任は全て作成者である私(ことり)にあります.

「向きを保つ」という用語の定義が見当たらなかったので,私の考えた定義をp.180,p.184,p.190の項目にそれぞれ載せています.

「l.-n」は,そのページの下からn行目を指します.

『トポロジーの基礎 上』 正誤表

p.19, l.-8

誤:(1.2.1)
正:(1.2.3)

p.39, l.-3

誤:$0,...,0)$
正:$tx_{p+q+1},...,tx_n)$

p.46, l.5

「前半」と「後半」が逆.

p.50, l.-2

誤:$(x_0/x_n:\;...\;:x_{n-1}/x_n)$
正:$(x_0/x_n,\;...\;,x_{n-1}/x_n)$

p.52,l.10

誤:自己同型の全体は$SO_3$に等しい
正:自己同型の全体は$O_3$に等しい

p.52,l.14

誤:「$\varphi:SU_2→SO_3$が定まる.」
正:「$\varphi:SU_2→O_3$が定まる.$\varphi$の連続性と$SU_2$の連結性,および$O_3$の連結成分は$SO_3$$O_3\setminus SO_3$とからなることから$ \varphi(SU_2)\subset SO_3$が言える.以下では$\varphi :SU_2→SO_3$と考える.」

p.80, l.7, l.8

誤:$\overline{\varphi}\varpi [\mu]$
正:$\overline{\varphi}\varpi(\mu)$

p.81, l.-6

誤: $\partial_1$
正: $\partial_{n+1}$

p.82

可換図式中の2つの「$H_n(U_+\cap U_-)$」を「$H_{n-1}(U_+\cap U_-)$」に修正.

p.94

問題2.3.2 解答例中の $r_v$ の定義は ill-defined.実際$\varpi(0,f(x))=\varpi(1,x)$であるにもかかわらず,$r_v(\varpi(0,f(x)))=f(f(x))$$r_v(\varpi(1,x))=x$とは等しいとは限らない.

$r_v$の定義を次のように修正する:
$0≤t<1/2$ のとき $r_v(\varpi(t, x))=x$
$1/2< t≤1$ のとき $r_v(\varpi(t, x))=f(x)$

これに伴って以降の式も次のように修正する:
$r_v\circ i_{2/3}=f$$r_v\circ i_{1/3}=1_X$
$A_q(u, v)=(u+v, -u-f_*v)$
$S(u,v):=(u+v, -u)$
$T(u,v):=(u+v, u)$

p.104, l.-2

誤: $\max_{x\in\sigma(\Delta^n)}$
正: $\max_{x\in\Delta^n}$

p.105, l.2

誤:$\beta_{\sigma}Sd_{n}(\partial_{n}\sigma)$
正:$\beta_{\sigma}Sd_{n-1}(\partial_{n}\sigma)$

p.105,l.-1

誤:$(Sd_n)^m(\sigma)$
正:$(Sd_n)^m(1_n)$
なお$m(\sigma)$を定義する文の中で,記号は定理2.4.12および補題2.4.13のものを引き継いでいる.特に$\sigma \in X^{\Delta^n}$としている.

p.109, l.2

誤:$(p(1)-p(1/2), \;p(1/2)-p(1))$
正:$(p(1/2)-p(1), \;p(1)-p(1/2))$

p.119, l.8

誤:$l_0=p=p\circ 1_{S^1}=\varphi_1\circ\varphi_1$
正:$l_0=p=1_{S^1}\circ p=\varphi_1\circ p$

p.121, l.11

誤:$I$の閉集合であり
正:$I$の開集合であり

p.121, l.11

誤:$F(x,0)=F'(x,0)=0$
正:$F(x,0)=F'(x,0)=f(x)$

p.121, l.-4

誤:$O_i:=\{x \in X;\;...\subset W_i\}$
正:$O_i:=\{x \in X;\;...\subset \overline{F}^{-1}(W_i)\}$

p.128, l.-10, l.-9

(注意) $\Pi F \circ (l \times 1_I)$ とは, $\Pi (F \circ (l \times 1_I))$ のこと.

p.130, l.-13

誤:$\tau(l_1)=0$
正:$\tau(l)=0$

p.140, l.-8

(注意) $\kappa(l,P,\{\varepsilon_i\})$ の中の $\{\varepsilon_i\}$ は,(一点集合ではなく)族 $\{\varepsilon_i\}_{1≤i≤n}$ のこと.

p.144, l.-10

誤:$X_n$
正:$\mathbb{C} \setminus \{z_1,z_2,...,z_n\}$
$X_n$ の定義がないため)

p.146, l.2

(注意) $[\alpha_1, \beta_1]$ などは,p.150に定義される交換子.

p.147

問題3.2.3(1)の解答例中で$U$の定義がない.$U := X \setminus \{x_1\}$ とする.

p.151, l.12

誤:一点 $*$ から $\epsilon \in I$
正:一点 $*$ から $1-\epsilon \in I$

p.153, l.-11

誤:$1-\theta_{\#} \partial_1$
正:$1+\theta_{\#} \partial_1$

p.153, l.-9

$\varphi \circ \psi(l)=$」から始まる式の各辺中で,$l(0)$$l(1)$ が逆.また,右辺の $(1-\theta_{\#} \partial_1)(l)$$(1+\theta_{\#} \partial_1)(l)$ が正しい.

p.153, l.-7

誤:$[u-0]$
正:$[u+0]$

p.169, l.4

両辺の「$;M$」を削除.

p.173, l.-3

誤:$d_n \circ r$
正:$r \circ d_n$

p.174, l.2

誤:$r \circ d_n$
正:$d_n \circ r$

p.180

(注意)局所的写像度の定義のあとに次の文言があってもいいかもしれない:

$\deg_p(f) = +1$のとき,$f$$p$において向きを保つという.

p.184

(注意)局所写像度の定義のあとに次の文言があってもいいかもしれない:

$\deg_x f=+1$のとき,$f$は($x$において)向きを保つという.

例えば p.233, l.5の「向きを保つ」はこの意味である.

p.185, l.12

(注意) $j_L$ の定義がないが,$j_x$ などと同様,$j_L$ も単なる包含写像 $(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n \setminus K) \rightarrow (\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n \setminus L), y \mapsto y$ である.(p.234を参照してほしい.)

p.190

(注意)局所的向き$\mu_p$の定義のあとに次の文言があってもいいかもしれない(「向きを保つ」という用語の定義):

$X,Y$は向きつけられた$n$次元位相多様体とする.$f : X \to Y$は連続写像,$p \in X$とする.$f$$p$で局所同相的(p.179)とする.$U \subset X$$X$における$p$の開近傍,$V \subset Y$$Y$における$f(p)$の開近傍とし,$f$の制限$f|_U : U \to V$は同相であるとする.このとき,同型$H_n(X, X\setminus\{p\}) \underset{\text{exc}}{\cong} H_n(U, U\setminus\{p\}) \cong H_n(V, V\setminus\{f(p)\}) \underset{\text{exc}}{\cong} H_n(Y, Y\setminus\{f(p)\})$による$\mu_p$の像が$+\mu_{f(p)}$のとき,$f$$p$において向きを保つという.

例えばp.251, l.7の「向きを保つ」はこの意味である.

p.191, l.1

(注意)$\deg_p(f)$とは,p.180で定義されたものである.p.184で定義されたものとは似ているが異なる.補題4.2.15の「いまの状況」には定理4.2.14の仮定も含んでいると解釈するといい.

p.193, l.12

誤:$X\cup\{Z_0\neq 0\}$
正:$X\cap\{Z_0\neq 0\}$

p.193, l.13

誤:$X\cup\{Z_i\neq 0\}$
正:$X\cap\{Z_i\neq 0\}$

p.194, l.1

(注意)$\# f^{-1}(q')\geq \# f^{-1}(q)$を導くのは以下のようにすればよい.本の議論を少し修正する:

$f(U_{p_i})$を改めて$V_{p_i}$とおき直すと,$f|_{U_{p_i}}:U_{p_i}\rightarrow V_{p_i}$は同相になる.この写像の逆写像を$g_i:V_{p_i} \rightarrow U_{p_i}$とおく.修正された$V_{p_i}$たちに対して,本のように$V$を定める.$q'\in V$を任意にとる.このとき,写像$\{1,...,n\}\rightarrow f^{-1}(q')$, $i\mapsto g_i(q')$は,$U_{p_i}$たちの取り方により単射になる.よって$\# f^{-1}(q')\geq n=\# f^{-1}(q). $

p.200, l.-2

誤:管状近傍をもつ
正:管状近傍$U$をもつ
(次の文で$U$の定義がないため)

p.205, l.-11

誤:$\{z_n = 0\} \cong \mathbb{C}P^{n-1}$
正:$\{z_n \neq 0\} \cong \mathbb{C}^n$

p.208, l.1

誤:$(\varphi_{\lambda}(y), t)$
正:$\varphi_{\lambda}(y)$

p.208, l.3

誤:$(\varphi_{\lambda} \times 1_{[0,1]}) \circ F_{\lambda} $
正:$\varphi_{\lambda} \circ F_{\lambda}$

p.219, l.-2

誤:$k = 1$のとき$\mathbb{Z}$
正:$k = 1$のとき$\mathbb{Z}^2$

p.221, l.13

誤:自由基
正:自由基底

p.222, l.-5

誤:$[e_{k+1}, e_k]$
正:$[e_k, e_{k-1}]$

p.225

(注意)証明中の$\varphi \circ (|\pi_P| \times |\pi_Q|) = 1_{|K(P \times Q)|}$を示す部分に出てくる$\tau_i, \sigma_j, \rho_k$は,$t_i := \sum_{a_k=i} r_k, \;s_j := \sum_{b_k=j} r_k$とおいたうえで,証明前半(p.224)のように定めた$\tau_i, \sigma_j, \rho_k$である.

p.225, l.-13

誤:$[L]$
正:$[L-1]$

p.226

補題4.4.8の証明中で,全ての「$K(P)$」を「$|K(P)|$」に修正し,全ての「$K(P \times [1])$」を「$|K(P \times [1])|$」に修正する.

p.227, l.-12

(注意)「$\partial_2 e^2 = \pm 2\sum e_k^1$」とあるが,「ある$\epsilon_1, ..., \epsilon_n \in \{\pm 2\}$を用いて$ \partial_2 e^2 = \sum \epsilon_k e_k^1$と書ける」とした方が適切かもしれない.もちろん$e_k^1$たちの特性写像を適切に修正することで,$\epsilon_k$たちの符号を揃えることはできる.

p.228, l.7

(注意)「$\sum_{q=0}^n c_q t^q=$」で始まる等式中の$t$はただの変数である.

p.230, l.8

誤:$u' := [z]$
正:$u' := [z']$

p.230, l.9

誤:$i_* u' \subset$
正:$i_* u' \in$

p.231,l.-10

ここに書かれている境界付き位相多様体の向き付け可能性の定義では,$1$次元多様体$[a,b](\subset\mathbb{R})$が向き付け不可能になってしまうため,境界付き多様体の次元が$1$の場合については定義を修正する必要がある.p.230で座標近傍を定義する際に,$n=1$の場合は$\mathbb{R}_+^1$の代わりに閉区間$[0,1]$を用いるとよいか.

p.233

ページ中央の可換図式で,1番右の縦の射を$(r \circ f)_*$とする.(連続写像$f: \partial \mathcal{D}_1 \to \partial \mathcal{D}_2$が定義されるとは限らないため,$f_*$はここには書けない.)また,右から2つ目の縦の射も括弧をつけて$(r \circ f)_*$とする.

さらに,本の可換図式の右端に次の図式を書き加えてもいいかもしれない:

$ \xymatrix{ & H_{n-1}(D_1,\;D_1\setminus \{q_1\}) \ar[l] \ar[d]^{f_*} \\ & H_{n-1}(D_2,\;D_2\setminus \{q_2\}) \ar[l] } $

(ただし,包含$D_i \rightarrow D_i \times [0,\rho_i],\;x \mapsto (x,0)$$q_i$に写る$D_i$の元のことも$q_i$と書いている.)

p.237, l.-11

(注意)$\varphi_*$とは,上に書かれている同型$H_n(X,X\setminus K)\rightarrow H_n(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n\setminus\varphi(K))$のこと.

p.237, l.-10

誤:$H_n(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n\setminus\{ \varphi(K)\})$
正:$H_n(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n\setminus\varphi(K))$

p.237, l.-6

誤:(3-2)
正:(3-1)

p.240,

l.-12からl.-8までの$X$を全て$\hat{X}^\circ$に変更.

p.241, l.2

誤:$H_n(U,\hat{O})$
正:$H_n(U,U \cap \hat{O})$

p.242, l.6

$i_1$, $i_0$の定義がない.次のように定義する(l.12も参照):

$\epsilon\in\{0,1\}$に対して,$i_\epsilon:\partial X\rightarrow\hat{X},\;x\mapsto (x,-\epsilon)$

p.242, l.-5

誤:$(U\cap \partial X)×[-1,2[$
正:$]-2,2[^{n-1}×[-1,2[$
(p.243, l.1, l.-9も同じ)

p.242, l.-3

誤:$g\circ\varphi^{-1}$
正:$g\circ\hat{\varphi}^{-1}$
(p.243, l.2, l.-5も同様)

p.243, l.11

誤:$\hat{X}=\hat{X}_{\alpha_1}$
正:$\hat{X}=\hat{X}_{\alpha_0}$

p.248, l.3

誤:$H_n(X)$
正:$H_n(X, \partial X)$

p.248, l.-7

(注意)(d)または((b)かつ境界が空でない場合)に$H_n(X)=0$となることは次のようにしてわかる:
p.231で見たように$X$$\hat{X}^{\circ}$とホモトピー同値であり,$\hat{X}^{\circ}$はコンパクトでないことから(a)に帰着できる.

p.249, l.-6

(注意)$\psi_{p_0}$の定義は,以下のようにした方がより正確:

$\psi_{p_0}: V_{p_0} \times ]-\frac{1}{2},\frac{1}{2}[ \;\xrightarrow{\cong} \;F(U_{p_0} \times ]0,1[),\;(\varphi_{p_0}(p),t) \mapsto F(p,t+\frac{1}{2})$

p.250

(注意)補題4.5.16の$X$は定理4.5.13の条件を満たすとする.

p.250, l.7

(注意)「境界のホモロジー的に誘導された向きに関する正の生成元」という表現が私には難しいと感じたので,メモを残しておく.(正確性に欠けるかもしれない.)

結論から言うと,「境界のホモロジー的に誘導された向きに関する正の生成元」とは,要するに$(-1)^n \mu_q \in H_{n-1}(\partial X, \partial X \setminus \{q\})$のことである.少し説明しよう.

$X$がアトラス$\{(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha}, V_{\alpha})\}_{\alpha \in A}$により向き付けられているとする.このアトラスを境界$\partial X$に制限したもの($\{(U'_{\alpha}, \varphi'_{\alpha}, V'_{\alpha})\}_{\alpha \in A}$と書くことにする)は,$\partial X$のアトラスになり,$\partial X$を向き付ける(p.233参照).$q \in \partial X$について,$q$の($\partial X$における)座標近傍$(U'_{\alpha_0}, \varphi'_{\alpha_0}, V'_{\alpha_0}) (\alpha_0 \in A)$を1つとったときに,$\mu_q := (\varphi_{\alpha_0}^{-1})_* \mu_{\varphi_{\alpha_0}}$$\mu_q$の定義である(p.189参照).なお$x := \varphi_{\alpha_0} \in \mathbb{R}^n$に対しての$\mu_x = \mu_{\varphi_{\alpha_0}}$の定義はp.183にある.
さて,p.233, l.-7以降を見てほしい.この$\mu_q$が,$X$から$\partial X$幾何的に誘導された($q$における)向きである.ホモロジー的に誘導された向きは,$X$の次元$n$が偶数のときは幾何的に誘導された向きと同一,奇数のときは逆,と定義されているので,これに$(-1)^n$をかけたものが,そうである.つまり,$X$から$\partial X$ホモロジー的に誘導された($q$における)向きは,$(-1)^n \mu_q$である,ということになる.
(「正の生成元」という言葉は,今注目している生成元(ここでは$(-1)^n \mu_q$)に一致するものを正の生成元と呼んでいるだけである.)

p.253, l.4

(注意)「$D^n$および$S^{n-1}$$X,Y$および$X \# Y$の部分多様体とみなす」とは,$D^n$$X,Y$の部分多様体とみなし,$S^{n-1}$$X,Y,X \# Y$の部分多様体とみなす,という意味である.

p.253, l.-8

誤:$f'α$
正:$f'_α$

p.253, l.-7

誤:$f'$の望む連続な拡張
正:$f$の望む連続な拡張

p.254, l.-9

誤:$(⊃Y\setminus (V_1∪V_2))$
正:$(⊃B\setminus (V_1∪V_2))$

p.267,l.-5

$U$の定義がない.$U:=S^3\setminus k(S^1)$とする.

p.258, l.1

この$S^1 \times [-\epsilon, \epsilon] \rightarrow E_\epsilon$はill-defined.実際,$((\cos \theta, \sin \theta), 0) \mapsto ([0:0], (0,0))$だが,$[0:0] \in \mathbb{R}P^1$というものは定義されない.次のように定義を修正する:
$((\cos\theta,\sin\theta),u)↦([\cos\theta:\sin\theta],(u\cos\theta,u\sin\theta))$

p.258, l.4

誤:$(\epsilon s_0, \epsilon s_1)$
正:$(s_0/\epsilon, s_1/\epsilon)$

もしおかしなところがあれば,教えていただければと思います.よろしくお願いします.また,この正誤表には,私以外の方が見つけた誤りもいくつか含んでいます.見つけてくださった方には感謝申し上げます.ありがとうございました.

参考文献

[1]
河澄響矢, トポロジーの基礎上, 東京大学出版会, 2022
投稿日:27日前
更新日:24日前

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