僕の最も好きな数

N$\in \mathbb{N}$としてNの各桁の各桁乗の総和をとる操作をミュンヒハウゼン操作と呼ぶことにし,その計算結果をM(N)と表す.(N=M(N)なることがミュンヒハウゼン数の定義)
いま,Nをm桁の正整数とする.Nの取り得る最小の値は${10}^{m-1}$である.M(N)の取り得る最大の値はm×$9^9$である.
mを十分大きく取れば
${10}^{m-1}$$>$m×$9^9$となることが指数関数と一次関数の増加速度の差から分かるだろう.初めてこの不等式が成り立つmを$\mathfrak{m}$とすれば,m$>\mathfrak{m}$$\Rightarrow$${10}^{m-1}$$>$m×$9^9$も容易に分かるだろう.以上よりm$>\mathfrak{m}$ならばm桁の正整数NについてN$>$M(N)となり,$\mathfrak{m}$桁以上のミュンヒハウゼン数が存在しない.あとは$\mathfrak{m}$桁までゴリゴリ計算すれば非自明なミュンヒハウゼン数が唯一つであることが分かる