微分　問題③

$ x>0において、関数f(x)=\frac{\log{x}}{x}を考える $
$ (1)x>1の時2\sqrt{x}>\log{x}を証明し、$$\lim_{x\to\infty}\frac{\log{x}}{x} の値を求めよ$$ $
$ (2)1,\sqrt2,\sqrt[3]3,\sqrt[4]4,\sqrt[5]5の大小を判定しなさい $
$ (3)e^\pi,\pi^eの大小を判定せよ $

解説
(1)
$g(x)=2\sqrt{x}-\log{x}とする$
$$g'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{x}-1}{x}$$
$x>1の時g'(x)>0であるからg(x)は単調増加$
$g(1)=2であるからx>1のときg(x)>2$
以上より、証明完了
$x>1の時、\log{x}>0であり、2\sqrt{x}>\log{x}であるから$
$0<\log{x}<2\sqrt{x}$
$$0<\frac{\log{x}}{x}<\frac{2}{\sqrt{x}}$$
$$\lim_{x \to \infty}\frac{2}{\sqrt{x}}=0であるから、はさみうちの定理より$$
$$\lim_{x\to\infty}\frac{\log{x}}{x}=0$$

(2),(3)
$f(x)のグラフを描く$
$$f'(x)=\frac{x・\frac{1}{x}-\log{x}}{x^2}=\frac{1-\log{x}}{x^2}$$
$f'(x)=0を解くと、x=e$
増減表を書くと、

$$\lim_{x\to\infty}f(x)=0であるから、$$
グラフを書くと、

となる

(2)
すべて正の実数であるから、eを底として対数を取っても大小関係は変化しない。つまり
$$\frac{\log{1}}{1},\frac{\log{2}}{2},\frac{\log{3}}{3},\frac{\log{4}}{4},\frac{\log{5}}{5}$$の大小を比較すれば良い
図1にプロットすると、

となる
$$\frac{\log{3}}{3}-\frac{\log{2}}{2}=\frac{2\log{3}-3\log{2}}{6}=\frac{\log{\frac{9}{8}}}{6}>0より、$$
$$\frac{\log{3}}{3}>\frac{\log{2}}{2}=\frac{\log{4}}{4}>\frac{\log{5}}{5}>\frac{\log{1}}{1}$$であるから、
$\sqrt[3]3>\sqrt[2]2=\sqrt[4]4>\sqrt[5]5>1$である

(3)
両方正の実数であるから、eを底として対数を取っても大小関係は変化しない。よって
$\pi\log{e},e\log{\pi}$と大小を比較すればよい
また、$e\pi$>0より、$e\pi$で割っても大小関係は変化しない。よって、
$$ \frac{\log{e}}{e},\frac{\log{\pi}}{\pi}の大小を比較すればよい。 $$
$f(x)はx=eで極大であるから、$
$$\frac{\log{e}}{e}>\frac{\log{\pi}}{\pi}$$である。
よって$e^\pi>\pi^e$