早稲田理工第2問(2025)の解答

$\triangle\mathrm{P}\mathrm{Q}\mathrm{R}\subset{D}$とする（$\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$の置き方によって一般性を失わない）。

\begin{equation*} \left\{ \, \begin{aligned} & \triangle\mathrm{P}\mathrm{Q}\mathrm{R}の面積が最大\Longrightarrow\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}\in{(D\text{の境界})}\quad (これは明らかだとします)\\ & C:y=\log{\dfrac{1}{x}}\quad (0< x\leqq{1})上に\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}が2つ以上存在しない\quad (\because\, Cが下に凸)\\ & C上に\mathrm{P}がある\Longrightarrow\triangle\mathrm{P}\mathrm{Q}\mathrm{R}の面積は最大ではない \end{aligned} \right. \end{equation*}
3つ目の条件は$C$が下に凸であることと
\begin{align*} \triangle\mathrm{P}\mathrm{Q}\mathrm{R}\subset{x}軸とy軸および\mathrm{P}におけるCの接線が囲んでできる三角形\subset{D} \end{align*}
だから。以上の議論から

• $\mathrm{P, Q}\in[0, 1]$かつ, $\mathrm{R}\in[0, \infty)$のとき
• $\mathrm{P}\in[0, 1]$かつ, $\mathrm{Q, R}\in[0, \infty)$のとき

の2つの場合を考えればよい。

$[1]\quad$ $\mathrm{P, Q}\in[0, 1]$かつ, $\mathrm{R}\in[0, \infty)$のとき$\quad$ $(\mathrm{P}$の$x$座標$)<$$(\mathrm{Q}$の$x$座標$)$
と仮定する。

\begin{equation*} 直線\mathrm{QR}がCとある点(t, \log\dfrac{1}{t})\quad (0< t\leqq{1})で接する\Longrightarrow \left\{ \, \begin{aligned} & \mathrm{P}=\mathrm{O}\\ & 直線\mathrm{QR}がCとある点(t, \log\dfrac{1}{t})\quad (0< t\leqq{1})で接する\\ \end{aligned} \right. \end{equation*}

そのような$t\in(0, 1]$が取れるとき, 直線$\mathrm{Q}\mathrm{R}$の方程式は
\begin{align*} y=-\dfrac{1}{t}(x-t)-\log{t}=-\dfrac{1}{t}x+1-\log{t}\quad (x\in\mathbb{R}). \end{align*}
よって$\mathrm{Q}(t(1-\log{t}), 0), \mathrm{R}(0, 1-\log{t})$だから, $\triangle\mathrm{P}\mathrm{Q}\mathrm{R}$の面積を$S(t)$とおくと
\begin{align*} S(t)=\dfrac{1}{2}t(1-\log{t})^{2}. \end{align*}
\begin{align*} S^{\prime}(t)=\dfrac{(1-\log{t})^{2}+t\cdot2(1-\log{t})\cdot\dfrac{-1}{t}}{2}=\dfrac{1-\log{t}}{2}(-1-\log{t}) \end{align*}
だから, $S(t)$の増減表は以下のようになる。

$S(t)$の増減表

$[2]\quad$ $\mathrm{P}\in[0, 1]$かつ, $\mathrm{Q, R}\in[0, \infty)$のとき$\quad$ [1]と同様の議論をして, この場合も最大値$2e^{-1}$を得る。
[1], [2]より, 求める最大値は$2e^{-1}.$