早稲田理工第2問(2025)の解答

$\mathrm{△}\mathrm{P}\mathrm{Q}\mathrm{R}\subset D$とする（$\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}$の置き方によって一般性を失わない）。

$$\{\begin{array}{rl}& \mathrm{△}\mathrm{P}\mathrm{Q}\mathrm{R}の面積が最大⟹\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}\in (D\text{の境界})(これは明らかだとします)\\ & C:y=\log {\displaystyle \frac{1}{x}}(0<x\leqq 1)上に\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}が2つ以上存在しない(\because Cが下に凸)\\ & C上に\mathrm{P}がある⟹\mathrm{△}\mathrm{P}\mathrm{Q}\mathrm{R}の面積は最大ではない\end{array}$$
3つ目の条件は$C$が下に凸であることと
$$\begin{array}{r}\mathrm{△}\mathrm{P}\mathrm{Q}\mathrm{R}\subset x軸とy軸および\mathrm{P}におけるCの接線が囲んでできる三角形\subset D\end{array}$$
だから。以上の議論から

• $\mathrm{P},\mathrm{Q}\in [0,1]$かつ, $\mathrm{R}\in [0,\mathrm{\infty })$のとき
• $\mathrm{P}\in [0,1]$かつ, $\mathrm{Q},\mathrm{R}\in [0,\mathrm{\infty })$のとき

の2つの場合を考えればよい。

$[1]$ $\mathrm{P},\mathrm{Q}\in [0,1]$かつ, $\mathrm{R}\in [0,\mathrm{\infty })$のとき$$ $(\mathrm{P}$の$x$座標$)<$$(\mathrm{Q}$の$x$座標$)$
と仮定する。

$$直線\mathrm{QR}がCとある点(t,\log {\displaystyle \frac{1}{t}})(0<t\leqq 1)で接する⟹\{\begin{array}{rl}& \mathrm{P}=\mathrm{O}\\ & 直線\mathrm{QR}がCとある点(t,\log {\displaystyle \frac{1}{t}})(0<t\leqq 1)で接する\end{array}$$

そのような$t\in (0,1]$が取れるとき, 直線$\mathrm{Q}\mathrm{R}$の方程式は
$$\begin{array}{r}y=-{\displaystyle \frac{1}{t}}(x-t)-\log t=-{\displaystyle \frac{1}{t}}x+1-\log t(x\in \mathbb{R}).\end{array}$$
よって$\mathrm{Q}(t(1-\log t),0),\mathrm{R}(0,1-\log t)$だから, $\mathrm{△}\mathrm{P}\mathrm{Q}\mathrm{R}$の面積を$S(t)$とおくと
$$\begin{array}{r}S(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}t(1-\log t{)}^2.\end{array}$$
$$\begin{array}{r}{S}^{\prime }(t)={\displaystyle \frac{(1-\log t{)}^2+t\cdot 2(1-\log t)\cdot {\displaystyle \frac{-1}{t}}}{2}}={\displaystyle \frac{1-\log t}{2}}(-1-\log t)\end{array}$$
だから, $S(t)$の増減表は以下のようになる。

$S(t)$の増減表

$[2]$ $\mathrm{P}\in [0,1]$かつ, $\mathrm{Q},\mathrm{R}\in [0,\mathrm{\infty })$のとき$$ [1]と同様の議論をして, この場合も最大値$2e^{-1}$を得る。
[1], [2]より, 求める最大値は$2e^{-1}.$