前田数学模試中学生

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大問1(25点)
画像の名前
$A, B, C, D$ は円周上にあり $O$ は半径1の円の中心、線分 $A B$ は直径である。
(1) $∠ B C D$ の角度を求めよ。
(2) $△ B C D$ の面積を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[2025年九州大学理系改]
(1)・・・7点
(2)・・・18点

大問2(25点)
画像の名前
図のように、関数 $y = a x^{2} (a < 0)$ のグラフ上に2点 $A, B$ をとり、点Aの座標を $A (6, - 9)$ 、直線ABと $y$ 軸との交点を $C$ とする.
また、 $△ O A B$ と $△ O B C$ の面積比が $3 : 1$ である。
(1) $a$ の値を求めよ。
(2)直線ABの式を求めよ。
(3) $△ O A B$ の面積を求めよ。
(4)点 $C$ を通り、 $△ O A B$ の面積を二等分する直線の式を求めよ。
(1)・・・3点
(2)・・・4点
(3)・・・7点
(4)・・・11点

大問3(25点)
図形A 図形A
線分 $A D = 4$ ,線分 $B C = 6$ とするとき、線分 $C D = 5$ とする。(円周率=π)
(1) $l$ を軸として、一回転させたときの体積を求めよ.
(2)(1)の立体の表面積を求めよ。
(3) $B C$ を軸として、一回転させたときの体積を求めよ.
(4)(3)の立体の表面積を求めよ.
(1)・・・3点
(2)・・・3点
(3)・・・9点
(4)・・・10点

大問4(25点)
(1) $(\frac{\sqrt{3} + 1}{2})^{2} - 2 (\frac{\sqrt{3} + 1}{2}) (\frac{\sqrt{3} - 1}{2}) + (\frac{\sqrt{3} - 1}{2})^{2}$ を簡単にせよ。
(2-a) $x^{2} - y^{2} + 2 x - 2 y$ を因数分解せよ.
(2-b) $x^{2} - y^{2} + 2 x - 2 y - 40 = 0$ をみたす正の整数の組 $(x, y)$ をすべて求めよ.
(3) $\frac{\frac{3}{4} + \frac{1}{20}}{\frac{7}{12} + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}}$ を計算せよ.
(4) $1, 2, 3, 4, 5$ の $5$ つの数字を並びかえてできる $5$ 桁の整数を小さい順に並べたとき、 $34251$ は何番目の整数か答えよ.
(1)~(5)・・・各5点

大問5(25点)

正五角形ABCDEの頂点を移動する点Pがある。点Pはさいころを投げて出た目の数だけ頂点を時計回りに移動する。点Pが、ちょうどAに止まったときは終了し、Aに止まらなかった時さらにさいころを投げ、その頂点から移動する。点Pが頂点Aからスタートするとき、次の問いに答えよ。
(1)さいころを2回投げて終了する目の出方は何通りあるか。
(2)ちょうど1周して終了する目の出方は何通りあるか。
(3)さいころを5回投げ、ちょうど2周して終了する目の出方は何通りあるか。
(1)・・・5点
(2)・・・7点
(3)・・・13点