三次式の極値間の実数解

極値間に限り三次式の実数解を得られる

カルダノの公式では虚数解のみ得られ、実数解を得ることはできません。
途中で使用されている立法完成によって$x^3+ax+b$と変形したとき、aがマイナスの場合極値があます。その極大値と極小値の間にbがあるときのみアークサインを利用して実数解を計算できます。

極値間に解がある場合、それは３つになります。
３つある解をそれぞれx,y,zに振り分けると三次空間内に、y,z面に$-\sqrt{2}$傾きx,y面に-45°回転した円を描きます。

解法

1.
$ax^3+bx^2+cx+d$
立法完成をして、$x^3+Ax+B$という形にします。
$A=-r$なら、$x^3-rx$から$x(x^2-r)$となり、$x=0, \pm \sqrt{r} $が得られ$\sqrt{\sqrt{r}^2+\sqrt{r}^2}=\sqrt{2r} $と計算して半径として扱います。

2.
次に$x^3-rx+B$を微分して
$3x^2-r=0$
$x=\sqrt{\frac{r}{3} }$を$x^3-rx$に代入
$\sqrt{\frac{r}{3}}^3-r \sqrt{\frac{r}{3}}=h$として極大値のｙの値を高さとします。
$h$を１としたとき、$B$が幾つかを計算しsinとして扱いアークサインから角度を求めます。
$\frac{B}{h} = s $
$ sin^{-1} s= radian $
三分の一の角度のsin,cosを計算して半径を掛け座標$q(x,y)$とします。
$ sin(\frac{radian}{3})= si$
$ cos(\frac{radian}{3})= co$
$q(si \times r,co \times r )$

3.
解を$(y,z,x)$とすると、
$q(y)$に$\sqrt{\frac{2}{3}} $を掛けるとz座標となり、中央の解になります。
$z=q(y)\times \sqrt{\frac{2}{3}} $
$q(x)$はそのまま、$z$を$-\sqrt{2}$で割った値をｙとして$p(q(x),\frac{z}{-\sqrt{2}})$座標とします。
この$p(x,y)$を45°右回りに回すとy,x座標となりそれぞれ最小の解、最大の解になります。
$y=\sqrt{\frac{1}{2}}(-p(x)+p(y))$
$x=\sqrt{\frac{1}{2}}(p(x)+p(y))$
$4x^3-3x+C$の解の集合の円。半径は$\sqrt{1.5}$