Milneの不等式

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以下のような不等式が知られている.

Milneの不等式

$0 < a_{1}, \dots, a_{n}, b_{1}, \dots, b_{n}$ とするとき,
$\begin{aligned} {(\sum_{i = 1}^{n} \sqrt{a_{i} b_{i}})}^{2} \leq \sum_{i = 1}^{n} (a_{i} + b_{i}) \sum_{j = 1}^{n} \frac{a_{j} b_{j}}{a_{j} + b_{j}} & \leq \sum_{i = 1}^{n} a_{i} \sum_{j = 1}^{n} b_{j} \end{aligned}$
が成り立つ.

左の不等号はCauchy-Schwarzの不等式の特別な場合である. 右の不等号は以下の式変形によって示される.
$\begin{aligned} 0 & \leq \sum_{0 < i < j \leq n} \frac{(a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i})^{2}}{(a_{i} + b_{i}) (a_{j} + b_{j})} \\ = \sum_{0 < i < j \leq n} (\frac{a_{i}}{a_{i} + b_{i}} - \frac{a_{j}}{a_{j} + b_{j}}) (a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i}) \\ = \sum_{0 < i < j \leq n} \frac{a_{i}}{a_{i} + b_{i}} (a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i}) + \sum_{0 < i < j \leq n} \frac{a_{j}}{a_{j} + b_{j}} (a_{j} b_{i} - a_{i} b_{j}) \\ = \sum_{0 < i, j \leq n} \frac{a_{i}}{a_{i} + b_{i}} (a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i}) \\ = \sum_{0 < i, j \leq n} (a_{i} b_{j} - \frac{a_{i} b_{i}}{a_{i} + b_{i}} (a_{j} + b_{j})) \end{aligned}$

一般化として, 以下のような予想をしている.

累次平均のMilneの不等式

$d \in R, 0 < a_{i}, b_{i}$ に対して,
$\begin{array}{r} f (s) := \sum_{i = 1}^{n} {(\frac{a_{i}^{d + s} + b_{i}^{d + s}}{2})}^{\frac{1}{d + s}} \sum_{j = 1}^{n} {(\frac{a_{j}^{d - s} + b_{j}^{d - s}}{2})}^{\frac{1}{d - s}} \end{array}$
とすると, $0 < s$ において $f (s)$ は $s$ に関して広義単調増加である.

$a_{i} \geq b_{i}$ , $d = 0$ としたとき,
$\begin{aligned} lim_{s \to 0} f (s) & = {(\sum_{i = 1}^{n} \sqrt{a_{i} b_{i}})}^{2} \\ lim_{s \to \infty} f (s) & = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} \sum_{j = 1}^{n} b_{j} \end{aligned}$
を得るから, この場合 $lim_{s \to 0} f (s) \leq f (1) \leq lim_{s \to \infty} f (s)$ がMilneの不等式に一致する. 別の一般化として, 以下のような予想もしている.

$0 < a_{i, j}, (1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m)$ のとき,
$\begin{aligned} {(\sum_{i = 1}^{n} \sqrt[m]{a_{i, 1} \dots a_{i, m}})}^{m} & \leq \sum_{i = 1}^{n} (a_{i, 1} + \dots + a_{i, m}) \sum_{j = 1}^{n} (a_{j, 1}^{- 1} + \dots + a_{j, m}^{- 1}) \end{aligned}$
が成り立つ.