9F8のsupercongruenceの予想まとめ

\begin{align} T_n(a,b,c):=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(4k+1)\left(\frac 12,\frac 12,a,1-a,b,1-b,c,1-c\right)_k}{k!^2\left(\frac 12+a,\frac 32-a,\frac 12+b,\frac 32-b,\frac 12+c,\frac 32-c\right)_k} \end{align}
とする. これはvery-well-poised${}_9F_8$
\begin{align} \F98{\frac 12,\frac 54,\frac 12,a,1-a,b,1-b,c,1-c}{\frac 14,1,\frac 12+a,\frac 32-a,\frac 12+b,\frac 32-b,\frac 12+c,\frac 32-c}1 \end{align}
を打ち切ったものである. LMFDBのラベルA.B.C.Dに対応するモジュラー形式を$f_{\text{A.B.C.D}}$と表し, モジュラー形式$f$の$q^n$の係数を$a_n(f)$のように書くことにする.

予想

以下$p$を素数とする.

予想1

\begin{align} T_p\left(\frac 12,\frac 12,\frac 12\right)&\equiv pa_p(f_{4.6.a.a})\pmod{p^6}\qquad p\geq 7 \end{align}
これはAuによる予想である. このモジュラー形式には
\begin{align} f_{4.6.a.a}(\tau)=\eta(2\tau)^{12} \end{align}
という表示がある.

予想2

\begin{align} T_p\left(\frac 12,\frac 12,\frac 13\right)&\equiv a_p(f_{4.6.a.a})\pmod{p^5}\qquad p\geq 5 \end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align} f_{4.6.a.a}(\tau)=\eta(2\tau)^{12} \end{align}
という表示がある.

予想3

\begin{align} T_p\left(\frac 12,\frac 12,\frac 14\right)&\equiv a_p(f_{8.6.a.a})\pmod{p^5}\qquad p\geq 5 \end{align}
これはMortensonによる予想であり, Frechette-Ono-Papanikolasの論文に現れている. Osburn-Straub-Zudilinによって$\mathrm{mod}\,\,p^3$の場合が示されている. このモジュラー形式には
\begin{align} f_{8.6.a.a}(\tau)=\eta(\tau)^8\eta(4\tau)^4+8\eta(4\tau)^{12} \end{align}
という表示がある.

予想4

\begin{align} T_p\left(\frac 12,\frac 12,\frac 16\right)&\equiv a_p(f_{4.6.a.a})\pmod{p^5}\qquad p\geq 5 \end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align} f_{4.6.a.a}(\tau)=\eta(2\tau)^{12} \end{align}
という表示がある.

予想5

\begin{align} pT_p\left(\frac 12,\frac 13,\frac 13\right)&\equiv a_p(f_{3.6.a.a})\pmod{p^5}\qquad p\geq 7 \end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align} f_{3.6.a.a}(\tau)=\eta(\tau)^6\eta(3\tau)^6 \end{align}
という表示がある.

予想6

\begin{align} pT_p\left(\frac 12,\frac 13,\frac 14\right)&\equiv a_p(f_{4.6.a.a})\pmod{p^5}\qquad p\geq 7 \end{align}
これはLi-Long-Tuによる予想である. このモジュラー形式には
\begin{align} f_{4.6.a.a}(\tau)=\eta(2\tau)^{12} \end{align}
という表示がある.

予想7

\begin{align} pT_p\left(\frac 12,\frac 13,\frac 16\right)&\equiv a_p(f_{12.5.c.a})\pmod{p^4}\qquad p\geq 7 \end{align}

予想8

\begin{align} pT_p\left(\frac 12,\frac 14,\frac 14\right)&\equiv a_p(f_{4.5.b.a})\pmod{p^4}\qquad p\geq 5 \end{align}

このモジュラー形式には
\begin{align} f_{4.5.b.a}(\tau)=\eta(\tau)^4\eta(2\tau)^2\eta(4\tau)^4 \end{align}
という表示がある.

予想9

\begin{align} T_p\left(\frac 12,\frac 14,\frac 16\right)&\equiv a_p(f_{8.4.a.a})\pmod{p^3}\qquad p\geq 5 \end{align}

これはLongによる予想である. このモジュラー形式には
\begin{align} f_{8.4.a.a}(\tau)=\eta(2\tau)^4\eta(4\tau)^4 \end{align}
という表示がある.

予想10

\begin{align} T_p\left(\frac 12,\frac 16,\frac 16\right)&\equiv a_p(f_{12.4.a.a})\pmod{p^3}\qquad p\geq 5 \end{align}

予想11

\begin{align} pT_p\left(\frac 12,\frac 15,\frac 25\right)&\equiv a_p(f_{5.6.a.a})\pmod{p^5}\qquad p\geq 11 \end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align} f_{5.6.a.a}(\tau)&=\frac{(\eta(\tau)\eta(5\tau))^7}{\eta(3\tau)\eta(15\tau)}+9(\eta(\tau)\eta(5\tau))^5\eta(3\tau)\eta(15\tau)\\ &\qquad+27(\eta(\tau)\eta(3\tau)\eta(5\tau)\eta(15\tau))^3 \end{align}
という表示がある.

予想12

\begin{align} pT_p\left(\frac 12,\frac 18,\frac 38\right)&\equiv a_p(f_{8.5.d.a})\pmod{p^4}\qquad p\geq 11 \end{align}

予想13

\begin{align} T_p\left(\frac 12,\frac 1{10},\frac 3{10}\right)&\equiv a_p(f_{20.4.a.a})\pmod{p^3}\qquad p\geq 7 \end{align}

予想14

\begin{align} pT_p\left(\frac 12,\frac 1{12},\frac 5{12}\right)&\equiv a_p(f_{4.5.b.a})\pmod{p^4}\qquad p\geq 13 \end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align} f_{4.5.b.a}(\tau)=\eta(\tau)^4\eta(2\tau)^2\eta(4\tau)^4 \end{align}
という表示がある.

予想15

\begin{align} p^2T_p\left(\frac 13,\frac 13,\frac 16\right)&\equiv a_p(f_{9.4.a.a})\pmod{p^3}\qquad p\geq 7 \end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align} f_{9.4.a.a}(\tau)=\eta(3\tau)^8 \end{align}
という表示がある.

予想16

\begin{align} p^2T_p\left(\frac 13,\frac 14,\frac 14\right)&\equiv a_p(f_{4.5.b.a})\pmod{p^4}\qquad p\geq 7 \end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align} f_{4.5.b.a}(\tau)=\eta(\tau)^4\eta(2\tau)^2\eta(4\tau)^4 \end{align}
という表示がある.

予想17

\begin{align} pT_p\left(\frac 13,\frac 14,\frac 16\right)&\equiv a_p(f_{12.3.c.a})\pmod{p^2}\qquad p\geq 7 \end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align} f_{12.3.c.a}(\tau)=\eta(2\tau)^3\eta(6\tau)^3 \end{align}
という表示がある.

予想18

\begin{align} p^2T_p\left(\frac 14,\frac 14,\frac 14\right)&\equiv a_p(f_{16.3.c.a})\pmod{p^2}\qquad p\geq 5 \end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align} f_{16.3.c.a}(\tau)=\eta(4\tau)^6 \end{align}
という表示がある.

予想19

\begin{align} pT_p\left(\frac 19,\frac 29,\frac 49\right)&\equiv a_p(f_{162.4.a.d})\pmod{p^3}\qquad p\geq 19 \end{align}

予想20

\begin{align} pT_p\left(\frac 17,\frac 27,\frac 37\right)&\equiv a_p(f_{98.4.a.f})\pmod{p^3}\qquad p\geq 17 \end{align}

予想21

\begin{align} T_p\left(\frac 1{14},\frac 3{14},\frac 5{14}\right)&\equiv a_p(f_{196.2.a.a})\pmod{p}\qquad p\geq 11 \end{align}

予想22

\begin{align} T_p\left(\frac 1{18},\frac 5{18},\frac 7{18}\right)\equiv a_p(f_{324.2.a.c})\pmod p\qquad p\geq 5 \end{align}

予想23

\begin{align} p^2T_p\left(\frac 13,\frac 15,\frac 25\right)\equiv a_p(f_{10.6.a.c})\pmod {p^4}\qquad p\geq 11 \end{align}

予想24

\begin{align} pT_p\left(\frac 14,\frac 15,\frac 25\right)\equiv a_p(f_{10.4.a.a})\pmod {p^3}\qquad p\geq 11 \end{align}

予想25

\begin{align} pT_p\left(\frac 16,\frac 15,\frac 25\right)\equiv a_p(f_{5.4.a.a})\pmod {p^3}\qquad p\geq 7 \end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align} f_{5.4.a.a}(\tau)&=\eta(\tau)^4\eta(5\tau)^4 \end{align}
という表示がある.

予想26

\begin{align} pT_p\left(\frac 13,\frac 18,\frac 38\right)\equiv a_p(f_{8.3.d.a})\pmod {p^2}\qquad p\geq 11 \end{align}

予想27

\begin{align} T_p\left(\frac 13,\frac 1{10},\frac 3{10}\right)\equiv a_p(f_{20.2.a.a})\pmod p\qquad p\geq 7 \end{align}

このモジュラー形式には
\begin{align} f_{20.2.a.a}(\tau)&=\eta(2\tau)^2\eta(10\tau)^2 \end{align}
という表示がある.

予想28

\begin{align} T_p\left(\frac 14,\frac 1{10},\frac 3{10}\right)\equiv a_p(f_{40.2.a.a})\pmod p\qquad p\geq 7 \end{align}

予想29

\begin{align} p^2T_p\left(\frac 13,\frac 13,\frac 13\right)\equiv a_p(f_{18.6.a.c})\pmod {p^4}\qquad p\geq 7 \end{align}

予想30

\begin{align} p^2T_p\left(\frac 13,\frac 13,\frac 14\right)\equiv a_p(f_{6.6.a.a})\pmod {p^4}\qquad p\geq 7 \end{align}

現状, $(a,b,c)=\left(\frac 16,\frac 1{10},\frac 3{10}\right), \left(\frac 14,\frac 16,\frac 16\right),\left(\frac 16,\frac 16,\frac 16\right)$の場合についてはモジュラー形式との関係が見つかっていない.