9F8のsupercongruenceの予想まとめ
\begin{align}
T_n(a,b,c):=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(4k+1)\left(\frac 12,\frac 12,a,1-a,b,1-b,c,1-c\right)_k}{k!^2\left(\frac 12+a,\frac 32-a,\frac 12+b,\frac 32-b,\frac 12+c,\frac 32-c\right)_k}
\end{align}
とする. これはvery-well-poised${}_9F_8$
\begin{align}
\F98{\frac 12,\frac 54,\frac 12,a,1-a,b,1-b,c,1-c}{\frac 14,1,\frac 12+a,\frac 32-a,\frac 12+b,\frac 32-b,\frac 12+c,\frac 32-c}1
\end{align}
を打ち切ったものである. LMFDBのラベルA.B.C.Dに対応するモジュラー形式を$f_{\text{A.B.C.D}}$と表し, モジュラー形式$f$の$q^n$の係数を$a_n(f)$のように書くことにする.
予想
以下$p$を素数とする.
予想1
\begin{align}
T_p\left(\frac 12,\frac 12,\frac 12\right)&\equiv pa_p(f_{4.6.a.a})\pmod{p^6}\qquad p\geq 7
\end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align}
f_{4.6.a.a}(\tau)=\eta(2\tau)^{12}
\end{align}
という表示がある.
予想2
\begin{align}
T_p\left(\frac 12,\frac 12,\frac 13\right)&\equiv a_p(f_{4.6.a.a})\pmod{p^5}\qquad p\geq 5
\end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align}
f_{4.6.a.a}(\tau)=\eta(2\tau)^{12}
\end{align}
という表示がある.
予想3
\begin{align}
T_p\left(\frac 12,\frac 12,\frac 14\right)&\equiv a_p(f_{8.6.a.a})\pmod{p^5}\qquad p\geq 5
\end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align}
f_{8.6.a.a}(\tau)=\eta(\tau)^8\eta(4\tau)^4+8\eta(4\tau)^{12}
\end{align}
という表示がある.
予想4
\begin{align}
T_p\left(\frac 12,\frac 12,\frac 16\right)&\equiv a_p(f_{4.6.a.a})\pmod{p^5}\qquad p\geq 5
\end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align}
f_{4.6.a.a}(\tau)=\eta(2\tau)^{12}
\end{align}
という表示がある.
予想5
\begin{align}
pT_p\left(\frac 12,\frac 13,\frac 13\right)&\equiv a_p(f_{3.6.a.a})\pmod{p^5}\qquad p\geq 7
\end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align}
f_{3.6.a.a}(\tau)=\eta(\tau)^6\eta(3\tau)^6
\end{align}
という表示がある.
予想6
\begin{align}
pT_p\left(\frac 12,\frac 13,\frac 14\right)&\equiv a_p(f_{4.6.a.a})\pmod{p^5}\qquad p\geq 7
\end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align}
f_{4.6.a.a}(\tau)=\eta(2\tau)^{12}
\end{align}
という表示がある.
予想7
\begin{align} pT_p\left(\frac 12,\frac 13,\frac 16\right)&\equiv a_p(f_{12.5.c.a})\pmod{p^4}\qquad p\geq 7 \end{align}
予想8
\begin{align} pT_p\left(\frac 12,\frac 14,\frac 14\right)&\equiv a_p(f_{4.5.b.a})\pmod{p^4}\qquad p\geq 5 \end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align}
f_{4.5.b.a}(\tau)=\eta(\tau)^4\eta(2\tau)^2\eta(4\tau)^4
\end{align}
という表示がある.
予想9
\begin{align} T_p\left(\frac 12,\frac 14,\frac 16\right)&\equiv a_p(f_{8.4.a.a})\pmod{p^3}\qquad p\geq 5 \end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align}
f_{8.4.a.a}(\tau)=\eta(2\tau)^4\eta(4\tau)^4
\end{align}
という表示がある.
予想10
\begin{align} T_p\left(\frac 12,\frac 16,\frac 16\right)&\equiv a_p(f_{12.4.a.a})\pmod{p^3}\qquad p\geq 5 \end{align}
予想11
\begin{align}
pT_p\left(\frac 12,\frac 15,\frac 25\right)&\equiv a_p(f_{5.6.a.a})\pmod{p^5}\qquad p\geq 11
\end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align}
f_{5.6.a.a}(\tau)&=\frac{(\eta(\tau)\eta(5\tau))^7}{\eta(3\tau)\eta(15\tau)}+9(\eta(\tau)\eta(5\tau))^5\eta(3\tau)\eta(15\tau)\\
&\qquad+27(\eta(\tau)\eta(3\tau)\eta(5\tau)\eta(15\tau))^3
\end{align}
という表示がある.
予想12
\begin{align} pT_p\left(\frac 12,\frac 18,\frac 38\right)&\equiv a_p(f_{8.5.d.a})\pmod{p^4}\qquad p\geq 11 \end{align}
予想13
\begin{align} T_p\left(\frac 12,\frac 1{10},\frac 3{10}\right)&\equiv a_p(f_{20.4.a.a})\pmod{p^3}\qquad p\geq 7 \end{align}
予想14
\begin{align}
pT_p\left(\frac 12,\frac 1{12},\frac 5{12}\right)&\equiv a_p(f_{4.5.b.a})\pmod{p^4}\qquad p\geq 13
\end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align}
f_{4.5.b.a}(\tau)=\eta(\tau)^4\eta(2\tau)^2\eta(4\tau)^4
\end{align}
という表示がある.
予想15
\begin{align}
p^2T_p\left(\frac 13,\frac 13,\frac 16\right)&\equiv a_p(f_{9.4.a.a})\pmod{p^3}\qquad p\geq 7
\end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align}
f_{9.4.a.a}(\tau)=\eta(3\tau)^8
\end{align}
という表示がある.
予想16
\begin{align}
p^2T_p\left(\frac 13,\frac 14,\frac 14\right)&\equiv a_p(f_{4.5.b.a})\pmod{p^4}\qquad p\geq 7
\end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align}
f_{4.5.b.a}(\tau)=\eta(\tau)^4\eta(2\tau)^2\eta(4\tau)^4
\end{align}
という表示がある.
予想17
\begin{align}
pT_p\left(\frac 13,\frac 14,\frac 16\right)&\equiv a_p(f_{12.3.c.a})\pmod{p^2}\qquad p\geq 7
\end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align}
f_{12.3.c.a}(\tau)=\eta(2\tau)^3\eta(6\tau)^3
\end{align}
という表示がある.
予想18
\begin{align}
p^2T_p\left(\frac 14,\frac 14,\frac 14\right)&\equiv a_p(f_{16.3.c.a})\pmod{p^2}\qquad p\geq 5
\end{align}
このモジュラー形式には
\begin{align}
f_{16.3.c.a}(\tau)=\eta(4\tau)^6
\end{align}
という表示がある.
予想19
\begin{align} pT_p\left(\frac 19,\frac 29,\frac 49\right)&\equiv a_p(f_{162.4.a.d})\pmod{p^3}\qquad p\geq 19 \end{align}
