mod p^6の超合同式(後編)
これは 前編 の続きです.
多項式の導入
${}_2F_1$の打ち切り和$L(t)$
元記事に従って,
$$
t=\frac{\vartheta_2(q)^4}{\vartheta_3(q)^4},
\qquad
c=\vartheta_3(q)^4
$$
を用いる. また,
$$
h=\frac{p-1}{2},
\qquad
L(t):=\sum_{j=0}^{h}\beta_n^2t^j
\in\mathbb F_p[t]
$$
と置く.
次の関係が成り立つ.
(i) $ c^hL=1, \qquad c^{h+1}=c^pL, \qquad \mathcal Dt=t(1-t)c. $
(ii) $ L(0)=1,\qquad L(1)=(-1)^h,\qquad L'(0)=\frac14, $
(iii) $L(1-t)=(-1)^hL(t), $
(iv) $t(1-t)L''+(1-2t)L'-\frac14L=0.$
特に, $L$は平方因子を持たない.
元記事で用いられている通り, テータ関数と楕円積分の関係から
$$
c=\left(\sum_{n\ge0}\beta_n^2t^n\right)^2.
$$
また, Lucas の合同式により
$$
\sum_{n\ge0}\beta_n^2t^n
=L(t)\left(\sum_{n\ge0}\beta_n^2t^n\right)^p.
$$
したがって
$$
c^hL=1,\qquad c^{h+1}=c^pL.
$$
$\mathcal Dt=t(1-t)c$ は元記事の変数変換から従う.
$L(0)=1, L'(0)=1/4$ は定義から明らかであり,
$$
L(1)=\sum_{j=0}^{h}\binom hj^2
=\binom{2h}{h}
=\binom{p-1}{h}
=(-1)^h.
$$
微分方程式 (iv) は係数比較で確認できる.
この方程式の次数 $p$ 未満の多項式解は、原点での値によって一意に定まるが, $L(1-t)$ も同じ方程式を満たし, 原点での値が $(-1)^h$ なので
$$
L(1-t)=(-1)^hL(t).
$$
最後に, $0,1$ は $L$ の根ではない. それ以外に重複度 $j\ge2$ の根 $\alpha$ があると仮定すると, (iv) の左辺を$t=\alpha$でTaylor展開した際に現れる最低次項は $t(1-t)L''$ だけから生じるが, その係数は
$$
\alpha(1-\alpha)j(j-1)
\times\text{非零の係数}
$$
である. $2\le j\le h< p$ なのでこれは零にならず, 矛盾する。
テータ多項式
$\mathbb{F}_p[[t]]$において, 次の表示がある.
$$
\begin{aligned}
E&=c^3P_E(t),
&
P_E(t)&=\frac{t(1-t)(1-2t)}{16},\\
M&=c^3P_M(t),
&
P_M(t)&=(1-t+t^2)(1-2t),\\
\mathcal E&=c^{h-2}P_{\mathcal E}(t), \\
\mathcal M&=c^{h-2}P_{\mathcal M}(t).
\end{aligned}
$$
ここで
$$
P_{\mathcal M},P_{\mathcal E}\in\mathbb F_p[t],
\qquad
\deg P_{\mathcal M},\deg P_{\mathcal E}\le h-2.
$$
さらに, これらは
$$
\begin{aligned}
P_{\mathcal M}(1-t)&=(-1)^hP_{\mathcal M}(t),\\
P_{\mathcal E}(1-t)&=(-1)^hP_{\mathcal E}(t).
\end{aligned}
$$
を満たす.
$E,M$ の表示は元記事のテータ恒等式による.
$\mathcal E,\mathcal M$ は重さ$r=2(h-2)$, レベル$\Gamma_0(4)$のモジュラー形式であるが, $p\geq 11$より$r\ge 6$なので$M_{r}(\Gamma_0(4))$の基底は
$$
c^{h-2},(ct)c^{h-3},\ldots,(ct)^{h-2}
$$
である. 故に$\mathcal{E}, \mathcal{M}$これらの線型結合で書けるから$\mathbb Q$係数の多項式表示を得る. また, 基底の先頭係数$16^j$は$p$-進単元なので, $q^0,q^1,\ldots,q^{h-2}$ の係数を順に比較すれば, この多項式の係数は$p$-進整であることが分かる.
最後に, モジュラー性より, $\tau$ 変数で
$$
\begin{aligned}
\mathcal M\!\left(-\frac1{4\tau}\right)
&=(2\tau)^r\mathcal M(\tau),\\
\mathcal E\!\left(-\frac1{4\tau}\right)
&=(2\tau)^r\mathcal E(\tau)
\end{aligned}
$$
が成り立つ. 一方で, この変換によりテータ関数は
$$
t\longmapsto1-t,
\qquad
c\longmapsto-(2\tau)^2c
$$
と変換されるから, これらを多項式表示に代入すると
$$
P_{\mathcal M}(1-t)=(-1)^{h-2}P_{\mathcal M}(t),
\qquad
P_{\mathcal E}(1-t)=(-1)^{h-2}P_{\mathcal E}(t)
$$
を得る.
$[q^p](E\mathcal M) = -1$の証明
まず, 前編における係数変換補題および$E,\mathcal M$の多項式表示から
$$
\begin{aligned}
\, [q^p](E\mathcal M)
&= 16[t^{p-1}]\frac{E\mathcal M}{\mathcal Dt}\\
&=[t^{p-1}](1-2t)c^hP_{\mathcal M}(t)\\
&=[t^{p-1}]\frac{(1-2t)P_{\mathcal M}(t)}{L(t)}.
\end{aligned}
$$
この係数を評価する.
$N,Q\in\mathbb F_p[t]$ が
$$
\deg N,\deg Q< h,
\qquad
Q^p\equiv N(L')^{p-1}\pmod L
$$
を満たすならば,
$$
[t^{p-1}]\frac NL=Q(0)
$$
が成り立つ.
多項式
$$
R(t):=
\sum_{j\ge0}
[t^{pj+p-1}]\bigl(N(t)L(t)^{p-1}\bigr)t^j
$$
を作る.
$$
\deg(NL^{p-1})\le ph-1
$$
なので, $\deg R< h$ である.
$p-1$ 回の微分は, 指数が $p-1\pmod p$ の項だけを残し, その係数は $(p-1)!=-1$なので
$$
R^p(t)
=R(t^p)=
-\left(\frac d{dt}\right)^{p-1}(NL^{p-1}).
$$
この微分を実行した後で法 $L$ を取ると, 残るのは $p-1$個の$L$をそれぞれ$1$回ずつ微分した項だけである. 従って
$$
R^p\equiv N(L')^{p-1}\equiv Q^p\pmod L.
$$
$L$ は平方因子を持たないので, $L\mid(R-Q)^p$ から $L\mid R-Q$ が従う. 次数条件により $R=Q$ である.
最後に、$L(0)=1$ から
$$
L^p=1+O(t^p)
$$
なので、
$$
[t^{p-1}]\frac NL
=[t^{p-1}]NL^{p-1}
=R(0)=Q(0).
$$
これで目標は, $N=(1-2t)P_{\mathcal M}$に対して, この補題を適用できるような$Q$を見つけることとなった.
$Q$ の構成
$$
\begin{align}
N(t)&:=(1-2t)P_{\mathcal M},\\
Q(t)&:=
\frac{16}{t(1-t)}
\left(
P_{\mathcal E}P_M
-P_{\mathcal E}(0)(1-2t)L(t)
\right)
\end{align}
$$
とおく.
$Q\in \mathbb{F}_p[t]$ であり,
$$
\deg N,\deg Q< h,
\qquad
Q(0)=-1
$$
を満たす.
$Q$の分子$16(P_{\mathcal E}(t)P_M(t)
-P_{\mathcal E}(0)(1-2t)L(t))$は $t=0$ で零になる. また,
$$
P_{\mathcal E}(1)
=(-1)^hP_{\mathcal E}(0)
=L(1)P_{\mathcal E}(0),
\qquad
P_M(1)=-1
$$
なので, $t=1$ でも零になる. 従って $Q$ は多項式である.
次数条件は明らかである.
原点での値は
$$
Q(0)=16P_{\mathcal E}'(0)-20P_{\mathcal E}(0).
$$
一方,
$$
t=16q+O(q^2),\qquad
c=1+8q+O(q^2),\qquad
\mathcal E=c^{h-2}P_{\mathcal E}(t)
$$
より
$$
\begin{aligned}
\, [q]\mathcal E
&=16P_{\mathcal E}'(0)
+8(h-2)P_{\mathcal E}(0)\\
&=16P_{\mathcal E}'(0)
-20P_{\mathcal E}(0).
\end{aligned}
$$
一方$\mathcal{E}$の定義から $[q]\mathcal E=-1$ なので, $Q(0)=-1$ である.
$f\in\mathbb F_p[t]$、$\nu\in\mathbb Z$、$n\ge0$ に対して
$$
\frac{L^n}{c^{\nu+n}}\mathcal D^n(c^\nu f)
$$
は多項式であり,
$$
\frac{L^n}{c^{\nu+n}}\mathcal D^n(c^\nu f)
\equiv
(2\nu)_n[t(1-t)L']^nf
\pmod L
$$
を満たす.
$c^hL=1$ を $t$ で微分すると、$h=-1/2$ より
$$
\frac{c'}c=2\frac{L'}L.
$$
$$
H_n(t):=
\frac{L^n}{c^{\nu+n}}\mathcal D^n(c^\nu f)
$$
と置くと, $\mathcal D=t(1-t)c\,\dfrac{\d}{\d t}$ によって
$$
H_0=f,
\qquad
H_{n+1}
=t(1-t)\left(LH_n'+(2\nu+n)L'H_n\right).
$$
従って帰納的に主張を得る.
最後に, $Q$が目的の合同式を満たすことを示そう.
$$ Q^p\equiv N(L')^{p-1}\pmod L. $$
二つの微分恒等式
$$
\mathcal D^5\mathcal M=M^p-M,
\qquad
\mathcal D^{p-6}E=\mathcal E^p-\mathcal E
$$
に補題4を適用する.
まず, $\mathcal M=c^{h-2}P_{\mathcal M}$ について
$$
\begin{aligned}
P_M^p-L^6P_M
&=\frac{L^5}{c^{h+3}}\mathcal D^5\mathcal M\\
&\equiv
(-5)_5[t(1-t)L']^5P_{\mathcal M}
\pmod L.
\end{aligned}
$$
次に, $E=c^3P_E$ について
$$
\begin{aligned}
P_{\mathcal E}^p-L^{p-5}P_{\mathcal E}
&=\frac{L^{p-6}}{c^{p-3}}\mathcal D^{p-6}E\\
&\equiv
(6)_{p-6}[t(1-t)L']^{p-6}P_E
\pmod L.
\end{aligned}
$$
二式を掛けると, $ (-5)_5(6)_{p-6}=-(p-1)!=1$より
$$
(P_{\mathcal E}P_M)^p
\equiv
[t(1-t)L']^{p-1}P_EP_{\mathcal M}
\pmod L.
$$
一方, $Q$の定義より
$$
Q\equiv
\frac{16P_{\mathcal E}P_M}{t(1-t)}
\pmod L.
$$
ただし$L(0),L(1)\ne0$ なので, 法 $L$ で $t(1-t)$ を割ることができる. 従って
$$
\begin{aligned}
Q^p
&\equiv
\frac{16(P_{\mathcal E}P_M)^p}{[t(1-t)]^p}\\
&\equiv
\frac{16P_EP_{\mathcal M}}{t(1-t)}
(L')^{p-1}\\
&=(1-2t)P_{\mathcal M}(L')^{p-1}\\
&=N(L')^{p-1}
\pmod L.
\end{aligned}
$$
これで, $Q$が補題3の適用条件を満たすことが分かったので以下を得る.
素数$p\ge 7$に対して
$$
[q^p](E\mathcal M)=-1.
$$
$p=7$の場合は直接計算により分かる. $p\ge 11$ならば, 補題3~6より
$$
[q^p](E\mathcal M)
=[t^{p-1}]\frac NL
=Q(0)
=-1.
$$
$\mod p^6$の合同式
前編の結果と命題7を合わせることで次が分かる.
$$
f(q) = \sum_{n=1}^{\infty}a(n)q^n \in q\mathbb{Z}[[q]]
$$
とする.
$$
F(x)= \frac{f(q(x))}{E(q(x))} = \sum _{n=0}^\infty \gamma_nx^n
$$
とおくと, 素数$p\ge 7$に対して
$$
\sum_{n=0}^{p-1}\gamma_ng_n \equiv a(p)+ p^5[q^p](f\mathcal{M})\pmod{p^6}.
$$
素数$p\ge 5$に対して,
$$
\frac{1}{64^{p-1}}\sum_{n=0}^{p-1}\beta_n^3\beta_{p-1-n}^3 \equiv 1 -\frac{3}{4}p^5B_{p-5}\pmod{p^6}.
$$
$p\ge 11$のときは, 定理8において$f(q)=q^p$とすれば良い. $p=5,7$は個別に分かる.
最後に, 実際に$[q^p](f\mathcal M)\equiv 0 \pmod p$を満たす$f$を構成しよう. $k\ge1$ に対して
$$
f_k(q)= Ec^{k/2}
$$
とする.$E$ のテータ表示
$$
E=\frac{\mathcal Dt}{16}(1-2t)c^2.
$$
を用いて, $t=16q+O(q^2)$ に係数変換の補題を使うと,
$$
[q^p](f_k\mathcal M)
=
[t^{p-1}](1-2t)c^{h+k/2}P_{\mathcal M}.
$$
さらに補題1より $
c^{h+k/2}\equiv L^{k-1}\pmod{t^p}$ なので,
$$
[q^p](f_k\mathcal M)
=
[t^{p-1}](1-2t)P_{\mathcal M}(t)L(t)^{k-1}.
$$
この表示を用いて, 次が示せる.
$p\ge 7$を素数とし, $k\ge 0$に対して
$$
\sum_{n=1}^\infty b_k(n)q^n
=E(q)\vartheta_3(q)^{2k}
$$
とおく. 「$k=1,2,4$」または「$k=3$かつ$p\equiv 1 \pmod 4$」のとき,
$$
b_k(p) \equiv \sum_{\substack{0 \leq n_1,n_2, m_1, \ldots ,m_k\\
n_1 + n_2 = m_1 + \cdots + m_k < p
}}
\beta_{n_1}^3\beta_{n_2}^3
\left(\frac{\left(\frac 14\right)_{m_1}}{m_1!}\cdots\frac{\left(\frac 14\right)_{m_k}}{m_k!}\ \right)^2
\pmod{p^6}.
$$
$$
R_k(t):=(1-2t)P_{\mathcal M}(t)L(t)^{k-1}
$$
とおく. $[t^{p-1}R_k(t)]=0$を示せば良い. 次数は
$$
\deg R_k\le1+(h-2)+(k-1)h=kh-1.
$$
$k=1,2$ の場合は, この次数が $p-1=2h$ より小さいことより従う.
$k=3,4$ の場合は対称性を使う. 補題2と$L(1-t)=(-1)^hL(t)$ より
$$
R_k(1-t)=(-1)^{kh+1}R_k(t).
$$
$k=4$ のとき, または $k=3$ かつ $p\equiv1\pmod4$ のときには
$$
R_k(1-t)=-R_k(t).
$$
一方, 次数が $2p-1$ 未満の任意の多項式 $R$ に対して
$$
[t^{p-1}]R(1-t)=[t^{p-1}]R(t)
$$
が成り立つ. これは
$$
\binom{j}{p-1}\equiv0\pmod p
\qquad(p\le j\le2p-2)
$$
から分かる. いま
$$
\deg R_k\le4h-1=2p-3<2p-1
$$
なので, この性質を適用して
$$
[t^{p-1}]R_k=0
$$
を得る.
同様にして次の命題も示すことができる.
$p\ge 7$を素数とし, $k\ge 0$に対して
$$
\sum_{n=1}^\infty a_k(n)q^n
=\eta(2\tau)^{12}\vartheta_3(q)^{2k}
$$
とおく. 「$k=1,2$」または「$k=3$かつ$p\equiv 3 \pmod 4$」のとき,
$$
a_k(p) \equiv \sum_{\substack{0 \leq n_1,n_2, m_1, \ldots ,m_k\\
n_1 + n_2 = n_3 + m_1 + \cdots + m_k < p
}}
\beta_{n_1}^3\beta_{n_2}^3\beta_{n_3}
\left(\frac{\left(\frac 14\right)_{m_1}}{m_1!}\cdots\frac{\left(\frac 14\right)_{m_k}}{m_k!}\ \right)^2
\pmod{p^6}.
$$
対応する多項式は$S_k(t) = P_{\mathcal M}(t)L(t)^{k-1}$である.
$k=1,2$のときは$\deg S_k < p-1 $より$[t^{p-1}]S_k = 0.$
$k=3$かつ$p\equiv 3\pmod p$ のときは,
$$
S_k(1-t) = (-1)^{kh}S_k(t) = -S_k(t), \quad \deg S_k<2p-1
$$
および定理9の証明から従う.
これらは, 元記事 の最後に予想として挙げた超合同式の$\mod p^6$の場合である.
