2025年共通テスト数学1A第3問解説

はじめに

どうも，甘茶です．今回は2025年に行われた共通テスト数学1Aの第3問（平面図形）の解説を行いたいと思います．今年の平面図形は個人的に「接弦定理」が出るかなと思ってたんですが平面どころか立体でしたね()
ただ，実際に問題を解いてみると分かりますが問題の扱っている定理などは自体は非常にシンプルで中学生でも解ける問題だと思います．
では，解説していきます．

第3問 解説

$\text{問題文は他サイトを参照してください．}$
$(1)$
$\text{直線AD}\text{を共有しているのは，平面}\text{ABED}\text{と平面}\text{ACFD}\text{であり，}$
$\text{直線}\text{BE}\text{を共有しているのは平面}\text{ABED}\text{と平面}\text{BCFE}\text{である．よって，直線}\text{AD}\text{は}$
$\text{平面}\text{ABED}\text{と平面}\text{ACFD}\text{の交線あり，直線}\text{BE}\text{は平面}\text{ABED}\text{と平面}\text{ACFD}\text{の交線．}$
$\text{平面}\text{ACFD}\text{と平面}\text{BCFE}\text{の交線である．}$

$(2)$
$\text{三角形}\text{PAB}\text{と三角形}\text{PED}\text{は相似であるから，相似比は}\text{AB：ED}\text{=}\text{1：3}\text{である．}$
$\text{ゆえに，PA：PE}\text{=}\text{1：3，}\text{PB：PD}\text{=}\text{1：3}\text{であり，}$
$\text{PE}\text{=}\text{PB+11}，\text{PD}\text{=}\text{PA+7}\text{から内項・外項の積より}$
$\text{3PA}\text{=}\text{PB+11},\text{3PB}\text{=PA+7}\text{となる．よって，PA}\text{=}\text{5，}\text{PB}\text{=}\text{4}\text{である．}$
$\text{次に，平面}\text{BCFE}\text{と球面}S\text{の交わる部分に着目する．}$
$\text{方べきの定理から，PC×PF}\text{=}\text{PB×PE}\text{すなわち}\text{PC(PC+17)=4×15．}$
$\text{よって，}{\text{PC}}^2+17\text{PC}-60=0\text{であるから，PC}\text{=}\text{3．}$
$\text{ここで，三角形}\text{PBC}\text{と三角形}\text{PFE}\text{は相似であるから，PC：PE}\text{=}\text{BC：FE．}$
$\text{ゆえに，3：15}\text{=}\text{3：EF}\text{であるから，EF}\text{=15．}$
$\text{同様に，三角形}\text{PCA}\text{と三角形}\text{PDF}\text{は相似であるから，PC：PD}\text{=}\text{CA：DF．}$
$\text{ゆえに，3：12}\text{=}\text{3：DF}\text{であるから，DF}\text{=12．}$
$\text{また，三角形}\text{ADE}\text{は}\text{AD：DE：EA}\text{=}\text{4：3：5}\text{であるから∠ADE}\text{=90°である．}$
$\text{よって，(a)，(b)，(c)}\text{の命題の真偽について，}$
$\text{(a)：偽（∠BEF}\text{に着目すれば明らか．）}$
$\text{(b)：真（∠ADE}\text{=90°であるから．）}$
$\text{(c)：真（直線}\text{DE}\text{と平面}\text{ACFD}\text{は垂直であり，直線}\text{AC}\text{は平面}\text{ACFD}\text{上に存在する．）}$