JMO2024本選問4 思考回路？

ここでは，実際に自分がJMO2024本選問4をどのような感じで解いたかを残したいと思います．問題は こちら ．

ここから

Xがめっちゃミケル点
とりあえずangle chaseして相似見つけまくるか
BD=CEだから完全四角形BDECのミケル点も取りたいな
ん？DM=EMだからMがミケル点じゃね？
なら相似と共円条件からADMEが内接四角形がわかりそう
わかった
経験的にADMEの外心で接しそう
O’としてみるか
ならO’は円AOX上にあり，接することを示せばよさそう
DEの垂直二等分線はO’Mか
(本当に何も考えないまま30分)
(ここで天啓　正直ここが難しい)
ん？三角形BOMとBOD合同じゃん！
ということはCOMとCOEも合同
BDMとCEMも合同
だからO’は円ABC上にあることが言えてしまった
外心の長さ条件とか使ってAOO’とMOO’が合同なのも言えた
だからMO’が円AOO’に接することが言えた！
あとは共円をいうだけ
angle chaseするか
AXがOO’に平行なことが言えた
AXO’Oは等脚台形？
XO’の長さを表現すればよさそう
XはBDCEのミケル点なのでそれを使って相似を示したりしたらいけるかも　たぶん
いや、流石に無理か？
でも相似を探したらいけそう
直接見つけるのは無理そう
回転相似で作るか
XB=XEだから
XBEとO’MEは相似っぽいのでXOEとBMEも相似？
示せた！
あとは簡単な長さ計算でXO’=OO’が言えたので証明完了！！

ポイント？

・やっぱりangle chaseは大事　議論が進んだと思ったらその度にやってみるべき
・ミケル点がすぐに見えたか．構図はすぐに見抜けるようにしておきたい
・今回は特にBD=CEの条件があるので，ミケル点のモチベが湧く
・今回示すことを言い換えられたか　特に今回は予想が立てられたか　経験してるかどうかで体感難易度はかなり変わりそう
・天啓は頑張るしかなさそう　モチベが気になる
・長さが知りたい時は相似が有効　回転相似で無理やり作るのも一つの手

最後に

ここまで読んでくださり，ありがとうございます
幾何を解くときの参考になればと思います．
ではまた