ある積分について
$\frac{x^{m}}{1+x^{n}}$ の実係数での部分分数分解の結果を報告し、その応用を述べる。
まず、計算のためいくつか準備をする。
x∈ℂに対し
$T_{n+2}(x) =2xT_{n+1}(x)-T_{n}(x),T_{0} =1,T_{1} =x$
により定まるn次整数係数多項式$T_{n}(x)$は$\cos nx=T_{n}(x) $を満たす。この$T_{n}(x)$を第一種チェビシェフ多項式と呼ぶ。
x∈ℂに対し
$U_{n+2}(x) =2xU_{n+1}(x)-U_{n}(x),U_{0} =1,U_{1} =2x$
により定まるn次整数係数多項式$U_{n}(x)$は$\sin nx= \sin x U_{n-1}(x) $を満たす。この$U_{n}(x)$を第二種チェビシェフ多項式と呼ぶ。
$T_{n}(1)=1,U_{n}(1)=n+1
$
$T_{n}(-1)=(-1)^{n},U_{n}(-1)=(-1)^{n}(n+1)
$
$T_{2n-1}(0)=0,T_{2n}(0)=(-1)^{n},U_{2n-1}(0)=0,U_{2n}(0)=(-1)^{n}$
定義よりすぐわかる。
$T_{n}(-x)=(-1)^{n}T_{n}(x),U_{n}(-x)=(-1)^{n}U_{n}(x)$
$T_{n}(x)= \frac{1}{2} ((x+ \sqrt{x^{2}-1} )^{n}+(x- \sqrt{x^{2}-1} )^{n})= \frac{n}{2} \sum_{k=0}^{ \lbrack \frac{n}{2} \rbrack } (-1)^{k} \frac{(n-k-1)!}{k!(n-2k)!} (2x)^{n-2k} $
$U_{n}(x)= \frac{1}{2 \sqrt{x^{2}-1} } ((x+ \sqrt{x^{2}-1} )^{n+1}-(x- \sqrt{x^{2}-1} )^{n+1})= \sum_{k=0}^{ \lbrack \frac{n}{2} \rbrack } (-1)^{k} \frac{(n-k)!}{k!(n-2k)!} (2x)^{n-2k} $
P(x),Q(x)を実係数多項式、$degP< degQ$とし、$Q(x)=(x-x_{1})^{n_{1}}(x-x_{2})^{n_{2}} \cdots(x-x_{k})^{n_{k}} ,x_{1},x_{2},\cdots x_{k}∈ℂ $
とする。
(1) $\frac{P(x)}{Q(x)}= \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_{i}} \frac{a_{ij}}{(x-x_{i})^{j}}$
となる複素数$a_{ij}$が存在する
(2)(1)において
$a_{ij}= \frac{1}{(n_{i}-j)!} \lim_{x \to x_{i}} \frac{d^{n_{i}-j}}{dx^{n_{i}-j}} (x-x_{i})^{n_{i}} \frac{P(x)}{Q(x)}$
- $2n-1>m \geq 0 $のとき
$\frac{x^{m}}{1+x^{2n-1}}= \frac{(-1)^{m}}{(2n-1)(x+1)} + \frac{2}{2n-1} \sum_{k=1}^{n-1} ( \frac{(-1)^{k+1} \sin \frac{k+n-1}{2n-1} \pi }{ \cos \frac{2k-1}{2(2n-1)} \pi } \cdot \frac{ \sin \frac{(m-n+ \frac{3}{2} )(2k-1)}{2n-1} \pi \cdot x - \sin \frac{(m-n+ \frac{1}{2} )(2k-1)}{2n-1} \pi }{x^{2}-2 \cos \frac{2k-1}{2n-1} \pi \cdot x +1} )$ - $2n>m \geq 0 $のとき
$\frac{x^{m}}{1+x^{2n}}= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}\frac{ \sin \frac{(m-n+1)(2k-1)}{2n} \pi \cdot x - \sin \frac{(m-n)(2k-1)}{2n} \pi }{x^{2}-2 \cos \frac{2k-1}{2n} \pi \cdot x +1}$
特に$m=0$として
3.
$\frac{1}{1+x^{2n-1}}= \frac{1}{(2n-1)(x+1)} + \frac{2}{2n-1} \sum_{k=1}^{n-1} ( \frac{\sin \frac{k+n-1}{2n-1} \pi }{ \cos \frac{2k-1}{2(2n-1)} \pi } \cdot \frac{ (-1)^{k}\sin \frac{(n- \frac{3}{2} )(2k-1)}{2n-1} \pi \cdot x + 1 }{x^{2}-2 \cos \frac{2k-1}{2n-1} \pi \cdot x +1} )$
4.
$\frac{1}{1+x^{2n}}= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{ (-1)^{k}\sin \frac{(n-1)(2k-1)}{2n} \pi \cdot x + 1 }{x^{2}-2 \cos \frac{2k-1}{2n} \pi \cdot x +1}$
- 一般化ライプニッツ級数
$1- \frac{1}{(2l-1)+1}+ \frac{1}{2(2l-1)+1}- \frac{1}{3(2l-1)+1}+ \cdots = \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^{2l-1}} = \frac{ \ln 2 }{2l-1} + \frac{1}{2l-1} \sum_{k=1}^{l-1} \frac{(-1)^{k} \sin \frac{k+l-1}{2l-1} \pi }{ \cos \frac{2k-1}{2(2l-1)} \pi } ( \sin \frac{(l- \frac{3}{2} )(2k-1)}{2l-1} \pi \cdot \ln (2(1- \cos \frac{2k-1}{2l-1} \pi ))- \frac{2(l-k)}{2l-1} \pi \cdot \cos \frac{(l- \frac{3}{2} )(2k-1)}{2l-1} \pi ) $ - 一般化メルカトル級数
$1- \frac{1}{2l+1}+ \frac{1}{4l+1}- \frac{1}{6l+1}+ \cdots = \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^{2l}} = \frac{1}{2l} \sum_{k=1}^{l} (-1)^{k} ( \sin \frac{(l-1)(2k-1)}{2l} \pi \cdot \ln (2(1- \cos \frac{2k-1}{2l} \pi ))- \frac{2(l-k)+1}{2l} \pi \cdot \cos \frac{(l-1)(2k-1)}{2l} \pi ) $
$ \int \sqrt[p]{ \tan^{q}x } dx= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{p} (-1)^{k+1} ( \sin \frac{(2k-1)q}{2p} \pi \cdot \ln ( \sqrt[p]{ \tan^{2}x}-2 \cos \frac{2k-1}{2p} \pi \cdot \sqrt[p]{ \tan x }+1)+ 2 \cos \frac{(2k-1)q}{2p} \pi \cdot \arctan \frac{ \sqrt[p]{ \tan x } - \cos \frac{2k-1}{2p} \pi }{ \sin \frac{2k-1}{2p} \pi } ) +C $
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