「(f(x)-f(0)-xf’(0))/x^2 → f’’(0)/2 (x→+0)」の受験数学最速証明を考える

正の実数$x$について$F(x)=f(x)-f(0)-xf’(0)$とする．また$t\in[0,x]$について$G(t)=x^2F(t)-t^2F(x)$とする．このとき，$F(0)=F’(0)=G(0)=G(x)=0,F’’(0)=f’’(0)$かつ$G’(t)=x^2F’(t)-2F(x)t$が成立する．$G(t)$は$[0,x]$で連続かつ$(0,x)$で微分可能なので平均値の定理により，ある$a\in(0,x)$が存在して以下が成立する．
$$\frac{G(x)-G(0)}{x-0}=G’(a)\Longleftrightarrow G’(a)=0\Longleftrightarrow \frac{F(x)}{x^2}=\dfrac12\cdot\frac{F’(a)}{a}$$
ゆえに，$x\to+0$の極限をとると
$$\lim_{x\to+0}\frac{F(x)}{x^2}=\frac12 \lim_{a\to+0}\frac{F’(a)-F’(0)}{a-0}=\frac12 F’’(0)=\frac12 f’’(0)$$
より示せた．

　$\vp(x)=f(x)-f(0)-xf’(0)$および$\ps(x)=x^2$とおく．このとき，$\vp(0)=\vp’(0)=\ps(0)=\ps’(0)=0$かつ$\vp’’(0)=f’’(0)$となっている．コーシーの平均値の定理よりある$\zeta\in(0,x)$が存在して，
$$\frac{\vp(x)}{\ps(x)}=\frac{\vp(x)-\vp(0)}{\ps(x)-\ps(0)}=\frac{\vp’(\zeta)}{\ps’(\zeta)}=\frac{\vp’(\zeta)-\vp’(0)}{2\zeta}$$
とでき，各辺$x\to+0$とすると微分係数の定義より$$\lim_{x\to+0}\frac{\vp(x)}{\ps(x)}=\frac{\vp’’(0)}{2}=\frac{f’’(0)}{2}$$
であり題意の主張を得る．

$S_n=\sum_{k=1}^n(\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1)$とおく．また，$f_n(x)=\sqrt{1+\frac{x}{n^2}}-1$とおく．このとき$f_n(x)$は十分大きな$n$で単調増加なので$k=1,2,\ldots ,n$について以下が成立する．
$$\int_{k-1}^{k}f_n(x)dx\lt\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1\lt\int_k^{k+1}f_n(x)dx$$
$k=1,2,\ldots ,n$で辺々足して，
$$\int_0^nf_n(x)dx\lt S_n\lt\int_1^{n+1}f_n(x)dx$$
$\int f_n(x)dx=\frac23 n^2(1+\frac{x}{n^2})^{3/2}-x+(定数)$と計算できるので，
$$(左辺)=\frac23 n^2\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{3/2}-1-\frac32\cdot\frac{1}{n}\right)$$
$t=\frac{1}{n}$と置き換えて，$f(t)=(1+t)^{3/2}$とすることで冒頭の定理を適用でき，$n\to\infty$において$\displaystyle (左辺)\to\frac23\cdot\frac12 f’’(0)=\frac14$が従う．
同様の議論により，$n\to\infty$において$\displaystyle (右辺)\to\frac14$．

以上より，はさみうちの原理から求める極限値は$\dfrac14$

　まず以下の補題を示す．

　関数$F$と正整数$n$と正実数$a$について，$F$が$[0,a]$で連続かつ$(0,a)$で微分可能かつ$F(0)=0$であるとき，ある$ b\in(0,a)$が存在して以下が成立する．
$$\frac{F(a)}{a^n}=\frac{F’(b)}{nb^{n-1}}$$

[証明]
$G(x)=x^nF(a)-a^nF(x)$とする．このとき$G(0)=G(a)=0$であり，$G(x)$は$[0,a]$で連続かつ$(0,a)$で微分可能なので平均値の定理からある$b\in(0,a)$が存在して
$$\frac{G(a)-G(0)}{a-0}=G’(b)\Leftrightarrow nb^{n-1}F(a)-a^nF’(b)=0\Leftrightarrow \frac{F(a)}{a^n}=\frac{F’(b)}{nb^{n-1}}$$
より示せた．

以下は題意の証明である．十分小さな正の実数$t$に対して
$$\vp(t)=f(t)-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}t^k$$
とすると，$\vp(0)=\vp’(0)=\vp’’(0)=\cdots=\vp^{(n-1)}(0)=0$かつ$\vp^{(n)}(0)=f^{(n)}(0)$が成立する．$\frac{\vp(x)}{x^n}$に補題を繰り返し適用すると，ある実数列$0\lt\zeta_0\lt\zeta_1\lt\ldots\lt\zeta_{n-1}\lt x$が存在して
$$\frac{\vp(x)}{x^n}=\frac1{n}\cdot\hodai{\frac{\vp’(\zeta_{n-1})}{\zeta_{n-1}^{n-1}}}=\frac1{n}\cdot\frac1{n-1}\cdot\hodai{\frac{\vp’’(\zeta_{n-2})}{\zeta_{n-2}^{n-2}}}=\cdots=\frac1{n!}\cdot\frac{\vp^{(n)}(\zeta_0)}{\zeta_0^0}=\frac{\vp^{(n)}(\zeta_0)}{n!}$$
が成立する．各辺$x\to+0$を考えることで$\displaystyle\lim_{x\to+0}\frac{\vp(x)}{x^n}=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$であり題意の主張を得る．

題意が正整数$n$に対して成立することを$P(n)$とする．

任意の正整数$n$について$P(n)\Rightarrow P(n+1)$を示す．

$$F(x)=f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$$
とおくと示すべきは以下である．
$$\lim_{x\to+0}\frac{F(x)}{x^{n+1}}=\frac{f^{(n+1)}(0)}{(n+1)!}$$
ここで，以下のように$G(t)$を$t\in[0,x]$において定める．
$$G(t)=x^{n+1}F(t)-t^{n+1}F(x)$$
このとき$G(0)=G(x)=0$かつ$G’(t)=x^{n+1}F’(t)-(n+1)F(x)t^{n}$が成立する．

$G(t)$は$[0,x]$で連続かつ$(0,x)$で微分可能なので平均値の定理よりある実数$a\in(0,x)$で以下が成立する．
$$\frac{G(x)-G(0)}{x-0}=G’(a)\Longleftrightarrow G’(a)=0\Longleftrightarrow \frac{F(x)}{x^{n+1}}=\frac1{n+1}\cdot\frac{F’(a)}{a^n}$$
両辺$x\to+0$の極限をとると
$$\lim_{x\to+0}\frac{F(x)}{x^{n+1}}=\frac1{n+1}\lim_{a\to+0}\frac{F’(a)}{a^n}$$
ここで，$f’$について$P(n)$を適用することで
$$\lim_{a\to+0}\frac{F’(a)}{a^n}=\frac{f^{(n+1)}(0)}{n!}$$
を得るので$P(n+1)$が真であることが従う．
$P(0)$は微分係数の定義より明らかであるので帰納的に$\forall n\in\mathbb{Z}_{\ge 1};P(n)$であることがわかり，題意は示せた．