とあるOMC不採用問題について

これからとある問題とその解答を載せます．実際に私がOMCで提出して不採用となったものです．不採用になった理由を当ててみてください．配点は自称400点（運営による配点評価は無し）

問題

半径1の円に内接する正$n$角形について，3個の頂点を選ぶ方法は$\binom{n}{3}$通りあります．$\binom{n}{3}$個の点を無作為に選んだ際の三角形の面積の期待値を$S_n$として， $\alpha=\lim_{n\to\infty}S_n$とします． $\lfloor 1000\alpha\rfloor$を求めてください．

解答

$k$番目の頂点を$P_k:=\left(\cos{\frac{2k\pi}{n}},\sin{\frac{2k\pi}{n}}\right)$ $0\leq i\lt j\lt k\lt n$の3つ組$(i,j,k)$を選んだ時，$P_i,P_j,P_k$は常に反時計回りに配置されているため，面積は $$\dfrac{1}{2}(P_j-P_i)\times (P_k-P_i)$$ で求められる．ただし$\times$は外積で，$A\times B:=A_xB_y-A_yB_x$である．このとき， $$\sum_{0\leq i\lt j\lt k\lt n}(P_j-P_i)\times (P_k-P_i)=\sum_{0\leq i\lt j\lt k\lt n}P_j\times P_k-P_i\times P_k+P_i\times P_j$$ $$=\sum_{0\leq i\lt j\lt n}iP_i\times P_j-(j-i-1)P_i\times P_j+(n-j-1)P_i\times P_j$$ $$=\sum_{0\leq i\lt j\lt n}(i-j+i+1+n-j-1)P_i\times P_j$$ $$=\sum_{0\leq i\lt j\lt n}(2i-2j+n)P_i\times P_j$$ ここで，$P_i\times P_j=\cos{\frac{2i\pi}{n}}\sin{\frac{2j\pi}{n}}-\sin{\frac{2i\pi}{n}}\cos{\frac{2j\pi}{n}}=\sin{\frac{2(j-i)\pi}{n}}$であるため， $$S_n\cdot \binom{n}{3}=\frac{1}{2}\sum_{d=1}^{n-1}\sin{\left(\frac{2d\pi}{n}\right)}(n-2d)(n-d)$$ ここで， $$\begin{aligned}\frac{1}{2}\sum_{d=1}^{n-1}\sin{\left(\frac{2d\pi}{n}\right)}(n-2d)(n-d)&=\frac{1}{2}\sum_{d=1}^{n-1}\sin{\left(\frac{2d\pi}{n}\right)}(n-2d)d\\\\&=\dfrac{n}{4}\sum_{d=1}^{n-1}\sin{\left(\frac{2d\pi}{n}\right)}(n-2d)\\\\&=-\frac{n}{2}\sum_{d=1}^{n-1}d\sin{\left(\frac{2d\pi}{n}\right)}\\\\&=-\frac{n}{2}\mathrm{Im}\left(\sum_{d=1}^{n-1}d\exp{\left(\frac{2d\pi\sqrt{-1}}{n}\right)}\right)\\\\&=-\frac{n}{2}\mathrm{Im}\left(\sum_{d=1}^{n-1}dz^d\right)\\\\&=-\frac{n}{2}\mathrm{Im}\left(\frac{(n-1)z^{n+1}-nz^n+z}{(1-z)^2}\right)\\\\&=-\frac{n}{2}\mathrm{Im}\left(\frac{nz-n}{(1-z)^2}\right)\\\\&=\frac{n}{2}\mathrm{Im}\left(\frac{n}{1-z}\right)\\\\&=\frac{n^2}{4\tan{\frac{\pi}{n}}}\end{aligned}$$ よって， $$S_n=\frac{n^2}{4\tan{\frac{\pi}{n}}}\cdot \frac{6}{n(n-1)(n-2)}$$ であるため， $$\alpha=\dfrac{3}{2\pi}$$ 特に $\lfloor 1000\alpha\rfloor={477}$

不採用とした理由

三角関数の極限などの議論をしていて，モロに数学III以降の範囲があるので，範囲内かどうか怪しいですが，それよりももっと致命的な要因を後に発見しました．

つい最近，京都大学の特色入試の過去問を調べてました．

https://math.nakaken88.com/problem/kyoto-u-t-2016-1/

いやほぼ同じやんけ！

というわけで答えは既出だったから（京都大学理学部特色入試2016年度第一問とほとんど同じだったから）でした．

発見が遅れた理由

既出チェックはもちろんしましたが，完全ではなかったと思っています．
日本語と英語でググりましたが当時は見つけられなかったです
ChatGPTにも既出かどうか聞きましたが，既出ではないと当時は判断しました（特色の過去問はインターネットに情報がまとまってないのでAIが参照できるデータも少ないのでは？という仮説）
特色に関しては2016年度の問題をはじめ問題文を見たことある止まりで解いてなかったので本質的に同じかどうかに気づけませんでした．