微分　問題①

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こんにちは、ベーコンです。
今日はみんな大好き微分です。
Mathjaxを初めて使う(それどころかプログラミング経験なし)なので見にくいところ等あるかと思いますがよろしくお願いします。
また、間違い等があれば遠慮なくお申し付けください。
数学Ⅲ程度の知識を必要とします。

問題

$lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \tan x^{2}}{x - x^{2}} の極限値を求めよ$

考えたい人用空白
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解説
平均値の定理を使うのが無難でしょうか

平均値の定理
関数 $f (x)$ が開区間[a,b]で連続、閉区間(a,b)で微分可能ならば
$\frac{f (b) - f (a)}{b - a} = f^{'} (c), a < c < b$
を満たす実数cが存在する

今回は $a = x, b = x^{2} (x < 0)$ もしくは $a = x^{2}, b = x (x > 0)$ 、 $f (x) = \tan (x)$ とすればよい。よって、
$lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \tan x^{2}}{x - x^{2}} = lim_{c \to 0} \tan^{'} (c) = \frac{1}{\cos^{2} (0)} = 1$
よって答えは1である