一般超幾何関数のx=1におけるモノドロミー作用を計算する

一般超幾何微分方程式の解の$x=0$におけるモノドロミー作用は, Frobenius級数に展開することによって計算できる. しかし, 一般超幾何関数の$x=1$におけるFrobenius級数表示は少し複雑である. 今回は, 別の方針として一般超幾何関数の接続公式を用いることによって$x=1$におけるモノドロミー作用を計算しようと思う.

一般超幾何関数
\begin{align} \F{r+1}r{a_1,\dots,a_{r+1}}{b_1,\dots,b_r}x \end{align}
の$x=1$における特性指数は$0,1,2,\dots,r-2,b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}$であることが知られており, これは解のうち$x=1$において正則でないものは1次元分しかないことを意味している. 特に
\begin{align} \F{r+1}r{a_1,\dots,a_{r+1}}{b_1,\dots,b_r}x \end{align}
は一般に$x=1$において正則ではないので, それに対するモノドロミー作用を計算すれば十分である. まず, 以下の接続公式を示す.

補題1において, $x$を区間$(0,1)$に$\Im(x)>0$の方から近づけると,
\begin{align} &\F{r+1}r{a_1,\dots,a_{r+1}}{b_1,\dots,b_r}{\frac 1x-0i}\\ &=\sum_{j=1}^{r+1}e^{-\pi ia_j}x^{a_j}\frac{\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)}{\Gamma(b_1-a_j)\cdots\Gamma(b_r-a_j)}\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq j}}\frac{\Gamma(a_l-a_j)}{\Gamma(a_l)}\\ &\qquad\cdot \F{r+1}r{a_j,1+a_j-b_1,\dots,1+a_j-b_r}{1+a_j-a_1,\dots,1+a_j-a_{j-1},1+a_j-a_{j+1},\dots,1+a_j-a_{r+1}}{x}\qquad 0< x<1 \end{align}
を得る. この右辺を分岐の切断を$(1,\infty)$として, 解析接続することによって, それは
\begin{align} \F{r+1}r{a_1,\dots,a_{r+1}}{b_1,\dots,b_r}{\frac 1x} \end{align}
を$1$の周りを正の向きに回って$\frac 1x$まで解析接続したものを与えていること分かる. そのように解析接続された右辺を$g(x)$とする. $x\mapsto \frac 1x$として補題1を用いると$b_{r+1}:=1$として,
\begin{align} g\left(\frac 1x\right)&=\sum_{j=1}^{r+1}e^{-\pi ia_j}x^{-a_j}\frac{\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)}{\Gamma(b_1-a_j)\cdots\Gamma(b_r-a_j)}\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq j}}\frac{\Gamma(a_l-a_j)}{\Gamma(a_l)}\\ &\qquad\cdot \F{r+1}r{a_j,1+a_j-b_1,\dots,1+a_j-b_r}{1+a_j-a_1,\dots,1+a_j-a_{j-1},1+a_j-a_{j+1},\dots,1+a_j-a_{r+1}}{\frac 1x}\\ &=\sum_{j=1}^{r+1}e^{-\pi ia_j}x^{-a_j}\frac{\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)}{\Gamma(b_1-a_j)\cdots\Gamma(b_r-a_j)}\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq j}}\frac{\Gamma(a_l-a_j)}{\Gamma(a_l)}\\ &\qquad\cdot\sum_{k=1}^{r+1}(-x)^{1+a_j-b_k}\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq j}}\frac{\Gamma(1+a_j-a_l)}{\Gamma(b_k-a_l)}\cdot\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq k}}\frac{\Gamma(b_k-b_l)}{\Gamma(1+a_j-b_l)}\\ &\qquad\F{r+1}r{1+a_1-b_k,\dots,1+a_{r+1}-b_k}{1+b_1-b_k,\dots,1+b_{k-1}-b_k,1+b_{k+1}-b_k,\dots,1+b_{r+1}-b_k}{x} \end{align}
ここで, $x$を$\Im(x)>0$の方から$0< x<1$に近づけると
\begin{align} \F{r+1}r{a_1,\dots,a_{r+1}}{b_1,\dots,b_r}{\frac 1x} \end{align}
を$1$の周りを正の向きに回って$\frac 1x$まで解析接続したものを与えていること分かる. そのように解析接続された右辺を$g(x)$とする. $x\mapsto \frac 1x$として補題1を用いると$b_{k+1}:=1$として,
\begin{align} g\left(\frac 1x-0i\right)&=\sum_{j=1}^{r+1}e^{-\pi ia_j}x^{-a_j}\frac{\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)}{\Gamma(b_1-a_j)\cdots\Gamma(b_r-a_j)}\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq j}}\frac{\Gamma(a_l-a_j)}{\Gamma(a_l)}\\ &\qquad\cdot\sum_{k=1}^{r+1}e^{-\pi(1+a_j-b_k)}x^{1+a_j-b_k}\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq j}}\frac{\Gamma(1+a_j-a_l)}{\Gamma(b_k-a_l)}\cdot\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq k}}\frac{\Gamma(b_k-b_l)}{\Gamma(1+a_j-b_l)}\\ &\qquad\F{r+1}r{1+a_1-b_k,\dots,1+a_{r+1}-b_k}{1+b_1-b_k,\dots,1+b_{k-1}-b_k,1+b_{k+1}-b_k,\dots,1+b_{r+1}-b_k}{x}\\ &=\sum_{k=1}^{r+1}e^{\pi i(b_k-1)}x^{1-b_k}\F{r+1}r{1+a_1-b_k,\dots,1+a_{r+1}-b_k}{1+b_1-b_k,\dots,1+b_{k-1}-b_k,1+b_{k+1}-b_k,\dots,1+b_{r+1}-b_k}{x}\\ &\qquad\cdot \sum_{j=1}^{r+1}e^{-2\pi ia_j}\frac{\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)}{\Gamma(b_1-a_j)\cdots\Gamma(b_r-a_j)}\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq j}}\frac{\Gamma(a_l-a_j)}{\Gamma(a_l)}\\ &\qquad\cdot\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq j}}\frac{\Gamma(1+a_j-a_l)}{\Gamma(b_k-a_l)}\cdot\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq k}}\frac{\Gamma(b_k-b_l)}{\Gamma(1+a_j-b_l)} \end{align}
を得る. この右辺は$0< x<1$から$1$の周りを正の向きに回って$x$に戻ってきたときの値であり, それを解析接続したものが
\begin{align} &\F{r+1}r{a_1,\dots,a_{r+1}}{b_1,\dots,b_r}{x}\\ \end{align}
への$x=1$におけるモノドロミー作用によって得られる関数である. 係数をさらに計算すると, $k\neq r+1$のとき,
\begin{align} &\sum_{j=1}^{r+1}e^{-2\pi ia_j}\frac{\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)}{\Gamma(b_1-a_j)\cdots\Gamma(b_r-a_j)}\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq j}}\frac{\Gamma(a_l-a_j)}{\Gamma(a_l)}\\ &\qquad\cdot\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq j}}\frac{\Gamma(1+a_j-a_l)}{\Gamma(b_k-a_l)}\cdot\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq k}}\frac{\Gamma(b_k-b_l)}{\Gamma(1+a_j-b_l)}\\ &=\frac{\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq k}}\Gamma(b_k-b_l)}{\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_{r+1})\Gamma(b_k-a_1)\cdots\Gamma(b_k-a_{r+1})}\sum_{j=1}^{r+1}e^{-2\pi ia_j}\frac{\Gamma(b_k-a_j)\Gamma(1+a_j-b_k)}{\Gamma(b_1-a_j)\cdots\Gamma(b_r-a_j)\Gamma(1+a_j-b_1)\cdots\Gamma(1+a_j-b_r)}\\ &\qquad\cdot\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq j}}\Gamma(a_l-a_j)\Gamma(1+a_j-a_l)\\ &=\frac{\pi\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq k}}\Gamma(b_k-b_l)}{\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_{r+1})\Gamma(b_k-a_1)\cdots\Gamma(b_k-a_{r+1})}\sum_{j=1}^{r+1}e^{-2\pi ia_j}\frac{\sin\pi(b_1-a_j)\cdots\sin\pi(b_r-a_j)}{\sin\pi(b_k-a_j)\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq j}}\sin\pi(a_l-a_j)}\\ \end{align}
ここで, 留数定理より, どの$a_1,\dots,a_{r+1}$の実部とも異なる実数$c$を取ると,
\begin{align} &\sum_{j=1}^{r+1}e^{-2\pi ia_j}\frac{\sin\pi(b_1-a_j)\cdots\sin\pi(b_r-a_j)}{\sin\pi(b_k-a_j)\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq j}}\sin\pi(a_l-a_j)}\\ &=-\pi\sum_{j=1}^{r+1}\Res_{t=a_j}e^{-2\pi i t}\frac{\sin\pi(b_1-t)\cdots\sin\pi(b_r-t)}{\sin\pi(b_k-t)\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1}}\sin\pi(a_l-t)}\\ &=-\frac 1{2i}\lim_{M\to\infty}\left(\int_{c+1-i\infty}^{c+1+iM}-\int_{c-i\infty}^{c+iM}-\int_{c+iM}^{c+1+iM}\right)e^{-2\pi i t}\frac{\sin\pi(b_1-t)\cdots\sin\pi(b_r-t)}{\sin\pi(b_k-t)\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1}}\sin\pi(a_l-t)}\,dt \end{align}
ここで, 被積分関数の周期性より,
\begin{align} \left(\int_{c+1-i\infty}^{c+1+iM}-\int_{c-i\infty}^{c+iM}\right)e^{-2\pi i t}\frac{\sin\pi(b_1-t)\cdots\sin\pi(b_r-t)}{\sin\pi(b_k-t)\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1}}\sin\pi(a_l-t)}\,dt=0 \end{align}
であるから, 求めるべき積分は
\begin{align} &\frac 1{2i}\lim_{M\to\infty}\int_{c+iM}^{c+1+iM}e^{-2\pi i t}\frac{\sin\pi(b_1-t)\cdots\sin\pi(b_r-t)}{\sin\pi(b_k-t)\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1}}\sin\pi(a_l-t)}\,dt\\ &=\frac 1{2i}\lim_{M\to\infty}\int_{c+iM}^{c+1+iM}\,dt\cdot\lim_{u\to i\infty}e^{-2\pi i u}\frac{\sin\pi(b_1-u)\cdots\sin\pi(b_r-u)}{\sin\pi(b_k-u)\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1}}\sin\pi(a_l-u)}\\ &=2ie^{\pi i(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}-b_k)} \end{align}
となる. 同様に, $k=r+1$のとき,
\begin{align} &\sum_{j=1}^{r+1}e^{-2\pi ia_j}\frac{\sin\pi(b_1-a_j)\cdots\sin\pi(b_r-a_j)}{\sin\pi(1-a_j)\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq j}}\sin\pi(a_l-a_j)}\\ &=2ie^{\pi i(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}-1)}+\pi\Res_{t=1}e^{-2\pi i t}\frac{\sin\pi(b_1-t)\cdots\sin\pi(b_r-t)}{\sin\pi(1-t)\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1}}\sin\pi(a_l-t)}\\ &=2ie^{\pi i(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}-1)}-\frac{\sin\pi(b_1-1)\cdots\sin\pi(b_r-1)}{\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1}}\sin\pi(a_l-1)}\\ &=2ie^{\pi i(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}-1)}+\frac{\sin\pi b_1\cdots\sin\pi b_r}{\sin\pi a_1\cdots\sin\pi a_{r+1}} \end{align}
よって, これらを代入すると,
\begin{align} g\left(\frac 1x-0i\right)&=\sum_{k=1}^{r}e^{\pi i(b_k-1)}x^{1-b_k}\F{r+1}r{1+a_1-b_k,\dots,1+a_{r+1}-b_k}{1+b_1-b_k,\dots,1+b_{k-1}-b_k,1+b_{k+1}-b_k,\dots,1+b_{r+1}-b_k}{x}\\ &\qquad\cdot 2ie^{\pi i(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}-b_k)}\frac{\pi \Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq k}}\Gamma(b_k-b_l)}{\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_{r+1})\Gamma(b_k-a_1)\cdots\Gamma(b_k-a_{r+1})}\\ &\qquad+\F{r+1}r{a_1,\dots,a_{r+1}}{b_1,\dots,b_r}{x}\\ &\qquad\cdot\frac{\pi\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)\Gamma(1-b_1)\cdots\Gamma(1-b_{r})}{\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_{r+1})\Gamma(1-a_1)\cdots\Gamma(1-a_{r+1})}\left(2ie^{\pi i(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}-1)}+\frac{\sin\pi b_1\cdots\sin\pi b_r}{\sin\pi a_1\cdots\sin\pi a_{r+1}}\right)\\ &=2\pi ie^{\pi i(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}-1)}\sum_{k=1}^{r}x^{1-b_k}\frac{ \Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq k}}\Gamma(b_k-b_l)}{\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_{r+1})\Gamma(b_k-a_1)\cdots\Gamma(b_k-a_{r+1})}\\ &\qquad\cdot\F{r+1}r{1+a_1-b_k,\dots,1+a_{r+1}-b_k}{1+b_1-b_k,\dots,1+b_{k-1}-b_k,1+b_{k+1}-b_k,\dots,1+b_{r+1}-b_k}{x}\\ &\qquad+\left(1+2ie^{\pi i(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}-1)}\frac{\sin\pi a_1\cdots\sin\pi a_{r+1}}{\sin\pi b_1\cdots\sin\pi b_r}\right)\F{r+1}r{a_1,\dots,a_{r+1}}{b_1,\dots,b_r}{x} \end{align}
を得る. まとめると以下を得る.

これは
\begin{align} &2\pi ie^{\pi i(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}-1)}\sum_{k=1}^{r}x^{1-b_k}\frac{\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq k}}\Gamma(b_k-b_l)}{\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_{r+1})\Gamma(b_k-a_1)\cdots\Gamma(b_k-a_{r+1})}\\ &\qquad\cdot\F{r+1}r{1+a_1-b_k,\dots,1+a_{r+1}-b_k}{1+b_1-b_k,\dots,1+b_{k-1}-b_k,1+b_{k+1}-b_k,\dots,1+b_r-b_k,2-b_k}{x}\\ &\qquad+\left(1+2ie^{\pi i(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}-1)}\frac{\sin\pi a_1\cdots\sin\pi a_{r+1}}{\sin\pi b_1\cdots\sin\pi b_r}\right)\F{r+1}r{a_1,\dots,a_{r+1}}{b_1,\dots,b_r}{x}\\ &=\F{r+1}r{a_1,\dots,a_{r+1}}{b_1,\dots,b_r}{x}\\ &\qquad+2\pi ie^{\pi i(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}-1)}\sum_{k=1}^{r+1}x^{1-b_k}\frac{\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq k}}\Gamma(b_k-b_l)}{\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_{r+1})\Gamma(b_k-a_1)\cdots\Gamma(b_k-a_{r+1})}\\ &\qquad\cdot\F{r+1}r{1+a_1-b_k,\dots,1+a_{r+1}-b_k}{1+b_1-b_k,\dots,1+b_{k-1}-b_k,1+b_{k+1}-b_k,\dots,1+b_r-b_k,2-b_k}{x} \end{align}
と書き換えることもできる. さらにこの第2項は
\begin{align} &\F{r+1}r{a_1,\dots,a_{r+1}}{b_1,\dots,b_r}{x}\\ &\qquad+\frac{2\pi i\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)}{\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_{r+1})}e^{\pi i(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}-1)}\sum_{k=1}^{r}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq k}}\Gamma(b_k-b_l-n)}{n!\Gamma(b_k-a_1-n)\cdots\Gamma(b_k-a_{r+1}-n)}x^{n+1-b_k}\\ &\qquad+\frac{2\pi i\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)}{\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_{r+1})}e^{\pi i(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}-1)}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n\Gamma(1-b_1-n)\cdots\Gamma(1-b_r-n)}{n!\Gamma(1-a_1-n)\cdots\Gamma(1-a_{r+1}-n)}x^n\\ &=\F{r+1}r{a_1,\dots,a_{r+1}}{b_1,\dots,b_r}{x}\\ &\qquad+\frac{\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)}{\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_{r+1})}e^{\pi i(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}-1)}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(1-b_1-s)\cdots\Gamma(1-b_r-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(1-a_1-s)\cdots\Gamma(1-a_{r+1}-s)}x^s\,ds \end{align}
とMellin-Barnes積分によって簡潔に表される. しかし, このMellin-Barnes積分は$0< x<1$のような条件がないと収束しないことに注意が必要である.

以下, $\gamma$によって$1$の周りを正の向きに一周するモノドロミー作用を表すとして, 関数$f(x)$に対する作用を$\gamma f(x)$のように表すとする. 一般超幾何微分方程式は$x=1$において特性指数$b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}$を持つから, $x=1$におけるモノドロミー作用によってちょうど$e^{2\pi i(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1})}$倍される解がある. 先ほどの式は
\begin{align} &\gamma \F{r+1}r{a_1,\dots,a_{r+1}}{b_1,\dots,b_r}{x}-\F{r+1}r{a_1,\dots,a_{r+1}}{b_1,\dots,b_r}{x}\\ &=2\pi ie^{\pi i(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}-1)}\sum_{k=1}^{r+1}x^{1-b_k}\frac{ \Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq k}}\Gamma(b_k-b_l)}{\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_{r+1})\Gamma(b_k-a_1)\cdots\Gamma(b_k-a_{r+1})}\\ &\qquad\cdot\F{r+1}r{1+a_1-b_k,\dots,1+a_{r+1}-b_k}{1+b_1-b_k,\dots,1+b_{k-1}-b_k,1+b_{k+1}-b_k,\dots,1+b_r-b_k,2-b_k}{x} \end{align}
と変形できる. 定理1を示す議論における$i$を$-i$に置き換えることによって,
\begin{align} &\gamma^{-1}\F{r+1}r{a_1,\dots,a_{r+1}}{b_1,\dots,b_r}{x}-\F{r+1}r{a_1,\dots,a_{r+1}}{b_1,\dots,b_r}{x}\\ &=-2\pi ie^{-\pi i(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}-1)}\sum_{k=1}^{r+1}x^{1-b_k}\frac{ \Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq k}}\Gamma(b_k-b_l)}{\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_{r+1})\Gamma(b_k-a_1)\cdots\Gamma(b_k-a_{r+1})}\\ &\qquad\cdot\F{r+1}r{1+a_1-b_k,\dots,1+a_{r+1}-b_k}{1+b_1-b_k,\dots,1+b_{k-1}-b_k,1+b_{k+1}-b_k,\dots,1+b_r-b_k,2-b_k}{x} \end{align}
も従う. これらを合わせると,
\begin{align} &\gamma\bigg(2\pi ie^{-\pi i(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}-1)}\sum_{k=1}^{r+1}x^{1-b_k}\frac{\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq k}}\Gamma(b_k-b_l)}{\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_{r+1})\Gamma(b_k-a_1)\cdots\Gamma(b_k-a_{r+1})}\\ &\qquad\cdot\F{r+1}r{1+a_1-b_k,\dots,1+a_{r+1}-b_k}{1+b_1-b_k,\dots,1+b_{k-1}-b_k,1+b_{k+1}-b_k,\dots,1+b_r-b_k,2-b_k}{x}\bigg)\\ &=\gamma \F{r+1}r{a_1,\dots,a_{r+1}}{b_1,\dots,b_r}{x}-\F{r+1}r{a_1,\dots,a_{r+1}}{b_1,\dots,b_r}{x}\\ &=2\pi ie^{\pi i(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}-1)}\sum_{k=1}^{r+1}x^{1-b_k}\frac{\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq k}}\Gamma(b_k-b_l)}{\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_{r+1})\Gamma(b_k-a_1)\cdots\Gamma(b_k-a_{r+1})}\\ &\qquad\cdot\F{r+1}r{1+a_1-b_k,\dots,1+a_{r+1}-b_k}{1+b_1-b_k,\dots,1+b_{k-1}-b_k,1+b_{k+1}-b_k,\dots,1+b_r-b_k,2-b_k}{x} \end{align}
が得られる. よって, 係数を除いて以下が従う.

先ほど見たように, これは$0< x<1$のとき,
\begin{align} f(x)=\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(1-b_1-s)\cdots\Gamma(1-b_r-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(1-a_1-s)\cdots\Gamma(1-a_{r+1}-s)}x^s\,ds \end{align}
と書くこともできる.