積分計算演習問題集
初心者から上級者まで
ノリで作ってみました。この記事で扱う積分は数Ⅲ～重積分・複素積分・etc.を扱っていきます。ただし数Ⅲ相当の積分の難易度はかなり高めです。しかし入試に通用する可能性も無きにしも非ずなので、ぜひやっていただけると幸いです(ほとんどないかも)。解答は こちら に提示していきます。問題も順次追加していきます。
数式表記
私の書き方が一応抜けないので先に説明を置きます。
・$\ln{x}$は真数$x$の自然対数を表す。
・逆正接関数などは$\arctan{x}$などで表すが、逆双曲線余割関数などは途中まで$\mathrm{arsech}{x}$で表記し、解答では$\ln$などの形で表す(一部美しさを加味して元の表記のままにしてある)。
・特殊関数や特殊定数が出てくる(初等関数で表せない)場合(正弦積分や$\zeta(3)$など)、それらを用いて解答してもよい(問題指定の文に書いてある)。
難易度表記
・(該当する必須知識範囲(e.g.数Ⅲ));(難易度(e.g.Lv.3))/((一部問題のみ)問題指定)
・問題の種類: 数Ⅲ,not数Ⅲ(数Ⅲの知識をメインとしつつ根幹に大学知識を要するもの),線積分,複素積分,重積分,etc.
・難易度(Lv)概要:
Lv.1: 簡単に処理可, Lv.2: 少し式変形で方針が見えやすい
Lv.3: 少し特殊知識や技術などを要する, Lv.4: 割と工夫や知識を必要とする難問(King property, Feynman's trick, etc.)
Lv.5: 超難問(複雑な過程を要する,愚直に積分できない,技術を多用する,専門知識が必要,発想が出ない,発想が出ても答えにたどり着けない,予想から逆方向に解く)
Lv.N: 完全知識
演習問題
◇ 次の不定積分、定積分を求めよ。
$(1)$数Ⅲ;Lv.1
$$\int_{0}^\frac{\pi}{2}\sin^2{x}\ dx$$
$(2)$数Ⅲ;Lv.2
$$\int \frac{1}{\tan{x}}dx$$
$(3)$数Ⅲ;Lv.3
$$\int \cos(\ln(x^\pi))dx$$
$(4)$数Ⅲ;Lv.2
$$\int_{0}^{\pi}\cos^{999}{x}\ dx$$
$(5)$数Ⅲ;Lv.3
$$\int e^{e^x+x-1}dx$$
$(6)$数Ⅲ;Lv.3/$b,c$を定数とする。次の不定積分を求めよ。
$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+bx+c}}dx\ \ (b^2<4c)$$
$(7)$not数Ⅲ;Lv.4/$f(x)=\ln{x}$とし、その$n$回合成を$f^n(x)(>0)$で表す。次の不定積分を$f(x)$とその反復合成を用いて求めよ。
$$\int \frac{1}{f^0(x)f^1(x)f^2(x)\cdots f^{n-1}(x)f^n(x)}dx$$
$(8)$数Ⅲ;Lv.4
$$\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx$$
$(9)$数Ⅲ;Lv.5
$$\int \frac{1+2e^x\cos{x}}{(e^x+\sin{x})(e^x-\sin{x})+(1+2e^x\cos{x})}dx$$
$(10)$not数Ⅲ;Lv.N/解答に$\arctan,\mathrm{artanh}$を用いてよい。
$$\int_{1}^{2}\frac{1}{\sqrt[4]{x^4+1}}dx$$
$(\mathrm{Coming\,Soon})$随時更新します。
