積分計算演習問題集

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初心者から上級者まで

ノリで作ってみました。この記事で扱う積分は数Ⅲ～重積分・複素積分・etc.を扱っていきます。ただし数Ⅲ相当の積分の難易度はかなり高めです。しかし入試に通用する可能性も無きにしも非ずなので、ぜひやっていただけると幸いです(ほとんどないかも)。解答はこちらに提示していきます。問題も順次追加していきます。

数式表記

私の書き方が一応抜けないので先に説明を置きます。

・ $\ln x$ は真数 $x$ の自然対数を表す。
・逆正接関数などは $\arctan x$ などで表すが、逆双曲線余割関数などは途中まで $arsech x$ で表記し、解答では $\ln$ などの形で表す(一部美しさを加味して元の表記のままにしてある)。
・特殊関数や特殊定数が出てくる(初等関数で表せない)場合(正弦積分や $ζ (3)$ など)、それらを用いて解答してもよい(問題指定の文に書いてある)。

難易度表記

・(該当する必須知識範囲(e.g.数Ⅲ));(難易度(e.g.Lv.3))/((一部問題のみ)問題指定)
・問題の種類: 数Ⅲ,not数Ⅲ(数Ⅲの知識をメインとしつつ根幹に大学知識を要するもの),線積分,複素積分,重積分,etc.
・難易度(Lv)概要:
　Lv.1: 簡単に処理可, Lv.2: 少し式変形で方針が見えやすい
　Lv.3: 少し特殊知識や技術などを要する, Lv.4: 割と工夫や知識を必要とする難問(King property, Feynman's trick, etc.)
　Lv.5: 超難問(複雑な過程を要する,愚直に積分できない,技術を多用する,専門知識が必要,発想が出ない,発想が出ても答えにたどり着けない,予想から逆方向に解く)
　Lv.N: 完全知識

演習問題

◇ 次の不定積分、定積分を求めよ。
$(1)$ 数Ⅲ;Lv.1
$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} x d x$
$(2)$ 数Ⅲ;Lv.2
$\int \frac{1}{\tan x} d x$
$(3)$ 数Ⅲ;Lv.3
$\int \cos (\ln (x^{π})) d x$
$(4)$ 数Ⅲ;Lv.2
$\int_{0}^{π} \cos^{999} x d x$
$(5)$ 数Ⅲ;Lv.3
$\int e^{e^{x} + x - 1} d x$
$(6)$ 数Ⅲ;Lv.3/ $b, c$ を定数とする。次の不定積分を求めよ。
$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + b x + c}} d x (b^{2} < 4 c)$
$(7)$ not数Ⅲ;Lv.4/ $f (x) = \ln x$ とし、その $n$ 回合成を $f^{n} (x) (> 0)$ で表す。次の不定積分を $f (x)$ とその反復合成を用いて求めよ。
$\int \frac{1}{f^{0} (x) f^{1} (x) f^{2} (x) \dots f^{n - 1} (x) f^{n} (x)} d x$
$(8)$ 数Ⅲ;Lv.4
$\int_{0}^{1} \frac{\ln (1 + x)}{1 + x^{2}} d x$
$(9)$ 数Ⅲ;Lv.5
$\int \frac{1 + 2 e^{x} \cos x}{(e^{x} + \sin x) (e^{x} - \sin x) + (1 + 2 e^{x} \cos x)} d x$
$(10)$ not数Ⅲ;Lv.N/解答に $\arctan, artanh$ を用いてよい。
$\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt[4]{x^{4} + 1}} d x$
$(Coming Soon)$ 随時更新します。