log2またはeは無理数であることを示せ。

意外にも高校数学の範囲で解ける面白い問題を思いついたのでここに書きます。

解答
背理法で示す。
$ln2、e$が共に有理数と仮定すると、
$a,b,c,d \in \mathbb{N}$ $(gcd(a,b)=gcd(c,d)=1)$を用いて、
$ln2= \frac{b}{a} 、e= \frac{d}{c}$とおける。
$ln$の定義より、
$ln2= \frac{b}{a} \Longleftrightarrow e^{\frac{b}{a}}=2 \Longleftrightarrow e^b=2^a $
$e= \frac{d}{c}$を代入して、
${(\frac{d}{c})}^b=2^a \Longleftrightarrow d^b=c^b \cdot 2^a $
ここで$c$が奇素数を素因数$p$にもつとすると、
$d$も$p$を素因数にもつがこれは$gcd(c,d)=1$に矛盾する。
よって$c$は奇素数を素因数にもたない。
また$d$は$2$の倍数、$gcd(c,d)=1$より、
$c$は$2$を素因数にもたない。
よって$c=1$となる。
このとき$e$は整数となるが
$2< e<3$より矛盾。
(この証明は省略します。)
これにより命題が示された。