素数に関するBonseの不等式を証明する

$p_k\#>c$なる最小の正の整数$k$を取る(このような$k$が存在することは素数の無限性から明らか). また$N=2k$とする. $P=p_k\#,\quad Q=\dfrac{p_n\#}{p_k\#}$とすると, $n>N=2k$に注意すれば$Q$は整数であり, $Q>P$が成り立つ.

さて, $Q-P$について, $p_n$以下の素数はすべて$Q, P$のどちらか一方のみを割り切るから$Q-P$を割り切ることはない. よって$Q-P$は$p_{n+1}$以上の素因数しかもたない. 明らかに$Q-P\neq 1$であるから, $Q-P\geq p_{n+1}$. よって
$$ QP\geq Pp_{n+1}+P^2>Pp_{n+1}>cp_{n+1} $$
が成り立ち, これは目標の式である.

以上から命題は示された.

$4$以上の整数$k$に対し,
正整数$i$に対し, $m_i=i(p_{k-1}\#)-1$と定義し, $M=\{m_i \mid 1\leq i\leq p_k, i\in\mathbb{N}\}$とする. 明らかに$M$の任意の要素は$p_k$以上の素因数しかもたない.

$M$の要素$m_i, m_j$($1\leq i< j\leq p_k$)をともに割り切る素数$p$の存在を仮定しよう. すると$p\mid m_j-m_i$であるから
$$ p\mid (j-i)(p_{k-1}\#)\quad\therefore p\mid j-i $$
であるが, これは不可能である. よって$M$の任意の要素はどの二つについても互いに素である.

$M$に$1$は含まれず, $|M|=p_k$であるから, $M$の要素のうち, $p_{k+p_k-1}$以上の素因数で割り切れる要素$m_x$が存在する. よって
$$ p_{k+p_k-1}\leq m_x\leq m_{p_k}=p_k\#-1 $$
であり, したがって$p_k\#>p_{k+p_k-1}$が成り立ち, $p_k\geq k+3$であるので$p_k\#>p_{2k+2}$である. 故に
$$ \begin{align*} p_{2k}\#>&(p_k\#)^2>p_{2k+2}^2>p_{2k+1}^2\\ p_{2k+1}\#>&(p_k\#)^2>p_{2k+2}^2 \end{align*} $$
となるので, $n\geq 8$についてBonseの不等式は示された($n=2k, 2k+1$についてBonseの不等式を確認したため). $n=4, 5, 6, 7$については手計算により成立が分かる.

$p_k$以下の正の整数は$p_k$以下の素因数しかもたないため
$$ \sum_{i=1}^{p_k}\frac{1}{i}<\prod_{i=1}^{k} \left(1+\frac{1}{p_i}+\frac{1}{p_i^2}+\cdots\right)=\prod_{i=1}^k \left(\frac{p_i}{p_i-1}\right) $$
で最左辺は$p_k\to\infty$で発散するから, $\prod_{i=1}^k(p_i/(p_i-1))>2c$となるような$k$が存在する.

$N=2k+\dfrac{p_k\#}{c}$とし, また$\lfloor cn\rfloor=m(p_k\#)-x\quad (0\leq x< p_k\#)$と非負整数$m, x$を用いて表す. このとき, $1$から$p_k\#$までに素数は高々$k+\varphi(p_k\#)$個であり, $i$を$2$以上$m-1$以下の整数とするとき, $i(p_k\#)$から$(i+1)(p_k\#)$までに素数は高々$\varphi(p_k\#)$個あるから
$$ \pi (cn)\leq m\varphi(p_k\#)+k $$
である. さて
$$ \varphi(p_k\#) = p_k\# \prod_{i=1}^k \left( \frac{p_i - 1}{p_i} \right) = \frac{p_k\#}{\prod_{i=1}^k \left( \frac{p_i}{p_i - 1} \right)} < \frac{p_k\#}{2c} $$
であるから
$$ \pi (cn)<\frac{mp_k\#}{2c}+k=\frac{\lfloor cn\rfloor}{2c}+\frac{2ck+x}{2c}<\frac{n}{2}+\frac{2ck+p_k\#}{2c}< n $$
となる. これは, $p_n>cn$であることを意味する.

任意の実数に対し, それよりも大きい整数が存在するため, $c$が整数のときに証明すれば十分である.

Bonseの不等式の証明と同じように, $4$以上の整数$k$に対し, $p_k\#>p_{k+p_k-1}$が成り立つ. また十分大きい整数$k$に対し, $p_k>ck$が成り立つので, $p_k\#>p_{(c+1)k}$である.

したがって
$$ \begin{align*} p_{ck}\#>&(p_k\#)^c>p_{(c+1)k}^c>p_{ck+1}^c\\ p_{ck+1}\#>&(p_k\#)^c>p_{(c+1)k}^c>p_{ck+2}^c\\ &\vdots\\ p_{(c+1)k-1}\#>&(p_k\#)^c>p_{(c+1)k}^c \end{align*} $$
であるから, 十分大きい$n$に対して, $p_n\#>p_{n+1}^c$が成り立つことが示された.