ELMO shortlist 2010 G6のベクトルを用いた解法

$\triangle ABC$の外心を$O$とする．
$P$から$DE$に引いた垂線を$l_1$，
$M$から$LM$に引いた垂線を$l_2$，
$N$から$LN$に引いた垂線を$l_3$
とするとき，$l_1,l_2,l_3$が1点$K$で交われば，
$LK$を直径とする円が$4$点を通ることから題意が示される．
$\triangle ABC$の外接円を単位円とし，$O$を原点とするベクトルを小文字で表す．
$d=sb+(1-s)a,\ e=tc+(1-t)a$とする．
$l_1$は$O$を通るため
$l_1:((-s+t)a+sb-tc)\cdot r=0$
$l_2$の法線は$AB$と平行なため
$l_2:(a-b)\cdot r=\frac{t}{2}(a\cdot b+a\cdot c-b\cdot c-1)　-(1)$
同様にして，
$l_3:(a-c)\cdot r=\frac{s}{2}(a\cdot b+a\cdot c-b\cdot c-1)　-(2)$
$s(1)-t(2)$は$l_1$の方程式となるため，$l_1,l_2,l_3$は1点で交わる．