(番外編Ⅱ)某botさんの年号問題を解く

$gcd(x,y,z)=1$のとき考えれば十分で
$(★)$を満たすような正の整数の組$(x,y,z)$が存在すると仮定しその中で$z$が最小であるものを考える
$(i)$$y$が偶数のとき
互いに素な正の整数$s,t$を用いて
$(x^2,y,z^2)=(s^2-t^2,2st,s^2+t^2)$と表せて
このとき$s^4+(xz{)}^2=t^4＜(s^2+t^2{)}^2=z^4$となりzの最小性に矛盾する
$(ii)$$y$が奇数のとき
互いに素な正の整数$s,t$(ただし$s,t$のどちらかは偶数であることに注意して)を用いて
$(x^2,y,z^2)=(2st,s^2-t^2,s^2+t^2)$と表せて
ここで$z^2=s^2+t^2$より
互いに素な正の整数$m,n$を用いて
$(s,t,z)=(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2),(2mn,m^2-n^2,m^2+n^2)$
このとき$x^4=4(m^2-n^2)mn$…$\mathrm{①}$
$m,n$は互いに素より$m^2-n^2,mn$は互いに素
これと$\mathrm{①}$より正の整数$\alpha ,\beta$を用いて
$(m^2-n^2,mn)=({\alpha }^2,{\beta }^2)$と表されて
$m,n$は互いに素より正の整数(互いに素)$\gamma ,\delta$を用いて
$(m,n)=({\gamma }^2,{\delta }^2)$このとき
${\delta }^4+{\alpha }^2={\gamma }^4＜m^2+n^2=z^2\leqq z^4$
より$z$の最小性に反する
よって$(i),(ii)$より補題1は成り立つ