(番外編Ⅱ)某botさんの年号問題を解く
整数問題botさんの問題を解きたいと思います( 嘘議論してしまっていたらすみません)
$x^4+y^2=z^4$…$(★)$を満たす正の整数の組$(x,y,z)$は存在しない
$gcd(x,y,z)=1$のとき考えれば十分で
$(★)$を満たすような正の整数の組$(x,y,z)$が存在すると仮定しその中で$z$が最小であるものを考える
$(i)$$y$が偶数のとき
互いに素な正の整数$s,t$を用いて
$(x^2,y,z^2)=(s^2-t^2,2st,s^2+t^2)$と表せて
このとき$s^4+(xz)^2=t^4＜(s^2+t^2)^2=z^4$となりzの最小性に矛盾する
$(ii)$$y$が奇数のとき
互いに素な正の整数$s,t$(ただし$s,t$のどちらかは偶数であることに注意して)を用いて
$(x^2,y,z^2)=(2st,s^2-t^2,s^2+t^2)$と表せて
ここで$z^2=s^2+t^2$より
互いに素な正の整数$m,n$を用いて
$(s,t,z)=(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2),(2mn,m^2-n^2,m^2+n^2)$
このとき$x^4=4(m^2-n^2)mn$…$①$
$m,n$は互いに素より$m^2-n^2,mn$は互いに素
これと$①$より正の整数$α,β$を用いて
$(m^2-n^2,mn)=(α^2,β^2)$と表されて
$m,n$は互いに素より正の整数(互いに素)$γ,δ$を用いて
$(m,n)=(γ^2,δ^2)$このとき
$δ^4+α^2=γ^4＜m^2+n^2=z^2≦z^4$
より$z$の最小性に反する
よって$(i),(ii)$より補題1は成り立つ
(解)
$a^{20}+18^b=30^c…(♥)$
$a^{20}=30^c-18^b$
$mod5$を考えると
$a^{20}\equiv-18^b \not\equiv0(mod5)$
$\therefore$$a$と$5$は互いに素
このときフェルマーの小定理より$a^{20}=(a^5)^4≡1(mod5)$
よって$-18^b≡1(mod5)$を解くと
$b=4b'+2…(■)$$(b'$は非負整数$)$
また$v_2(a^{20})=20v_2(a)…(▲)(v_2(a)≧1)$
$(Ⅰ)$$b＜c$のとき
$v_2(30^c-18^b)=b$
$(▲)$より$b$は$20$の倍数となるが$(■)$に反する
$(Ⅱ)b＞c$のとき
$v_2(30^c-18^b)=c$となり$c=20c'$($c'$は正の整数)
このとき$(♥)$は
$a^{20}+18^{4b'+2}=30^{20c'}$
つまり$(a^5)^4+(18^{2b'+1})^2=(30^{5c'})^4$
補題1よりこの等式を満たすような$(a,b,c)$は存在しない
$(Ⅲ)$$b=c$のとき
$v_3(a^{20})=20v_3(a)=v_3(30^b-18^b)=b$
$$\therefore b=20v_3(a)$$
となり$b$は$20$の倍数となるが$(■)$に反する
以上より$(♥)$を満たす正の整数の組$(a,b,c)$は存在しない
