多項式とはなんぞや

以下の定理, 係数比較法の主張を見ると「ならば」の前後で同じことを言っているじゃないか, と思う人が多いだろう。今回はこの「ならば」の前後は別のことであることを解説しよう。

係数比較法

$n$ 次多項式 $f (X) = a_{n} X^{n} + \dots + a_{0}, g (X) = b_{n} X^{n} + \dots + b_{0}$ を考える。
$\begin{array}{r} 任意の複素数 x に対し, f (x) = g (x) \end{array}$
ならば
$\begin{array}{r} f (X) = g (X), \end{array}$
すなわち
$\begin{array}{r} a_{0} = b_{0}, かつ a_{1} = b_{1}, かつ \dots, a_{n + 1} = b_{n + 1} \end{array}$
が成り立つ。

この解説は高校生向けなので, 正確性のために多項式環の概念を持ち出して, 解説を複雑にすることはしない。それと1変数多項式についてのみ考える。

用語の準備

1変数多項式

$n$ を0以上の整数とする。 $X$ を複素数とは何の関係のない単なる文字とする。これを不定元という。 $X$ の1変数多項式とは $X^{0} = 1$ として
$\begin{array}{r} f (x) = a_{n} X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{0} \end{array}$
の形の式のことである。ただし, $a_{0}, \dots . a_{n}$ はすべて複素数である。

この $X$ は「数」ではないということが大事である。何か $X$ という任意の複素数が固定されているのではないことに注意せよ。

1変数多項式の相等

$n$ を任意の非負整数として
$\begin{array}{r} f (X) = a_{n} X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{0} \end{array}$
と
$\begin{array}{r} g (X) = b_{n} X^{n} + b_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + b_{0} \end{array}$
に対し
$\begin{array}{r} f (X) = g (X) \end{array}$
を
$\begin{array}{r} a_{0} = b_{0}, かつ \dots, かつ a_{n} = b_{n} \end{array}$
が成り立つことと定義する。

1変数多項式の加法と乗法

$f (x) = a_{n} X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{0}, g (x) = b_{n} X^{n} + b_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + b_{0}$ としたとき, $f (X) + g (X), f (X) g (X)$ を
$\begin{array}{r} f (X) + g (X) = (a_{n} + b_{n}) X^{n} + (a_{n - 1} + b_{n - 1}) X^{n - 1} + \dots + (a_{0} + b_{0}), \end{array}$
$\begin{array}{r} f (X) g (X) = \sum_{k = 0}^{2 n} \sum_{i + j = k} a_{i} b_{j} X^{k} \end{array}$
で定める。

代入

$α$ を複素数とする。 $f (x) = a_{n} X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{0}$ に対し, $f (α)$ を
$\begin{array}{r} f (α) = a_{n} α^{n} + a_{n - 1} α^{n - 1} + \dots + a_{0} \end{array}$
で定め, これを $f (X)$ に $X = α$ を代入して得られる複素数という。