三次方程式のspecialized解法備忘録

$$P(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$$
とする。
$$P(x)={(x+\frac{a}{3})}^3-\frac{a^2}{3}x+bx-\frac{a^3}{27}+c={(x+\frac{a}{3})}^3+(b-\frac{a^2}{3})(x+\frac{a}{3})+\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c$$
$$-p:=b-\frac{a^2}{3},-q:=\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c,X:=x+\frac{a}{3}$$
$P(x)=X^3-pX-q$に関して、${\displaystyle X=2\sqrt{\frac{p}{3}}\cos \theta }$とおき、$P(x)=0$とすると、
$$P(x)=\frac{8p}{3}\sqrt{\frac{p}{3}}{\cos }^3\theta -2p\sqrt{\frac{p}{3}}\cos \theta -q=\frac{2p}{3}\sqrt{\frac{p}{3}}(4{\cos }^3\theta -3\cos \theta )-q=0$$
$$⟺\frac{2p}{3}\sqrt{\frac{p}{3}}(4{\cos }^3\theta -3\cos \theta )=\frac{2p}{3}\sqrt{\frac{p}{3}}\cos 3\theta =q$$
よって、
$$\theta =\frac{1}{3}\arccos \left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{3}{p}}\right)$$
逆置換して戻していくと、
$$X=2\sqrt{\frac{p}{3}}\cos \{\frac{1}{3}\arccos \left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{3}{p}}\right)\}⟺x=-\frac{a}{3}+2\sqrt{\frac{p}{3}}\cos \{\frac{1}{3}\arccos \left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{3}{p}}\right)\}$$
したがって、$P(x)$の根は、
$$x=-\frac{a}{3}+2\sqrt{\frac{a^2-3b}{9}}\cos \{\frac{1}{3}\arccos \left(\frac{-9(\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c)}{2(a^2-3b)}\sqrt{\frac{9}{a^2-3b}}\right)\}$$
$$=-\frac{a}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{a^2-3b}\cos \{\frac{1}{3}\arccos \left(\frac{1}{\sqrt{a^2-3b}}\frac{-27(\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c)}{2(a^2-3b)}\right)\}$$
$$=-\frac{a}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{a^2-3b}\cos \{\frac{1}{3}\arccos (-\frac{2a^3-9ab+27c}{2(a^2-3b)\sqrt{a^2-3b}})\}$$