三次方程式のspecialized解法備忘録

$$P(x)=x^3+ax^2+bx+c$$
とする。
$$P(x)=\left(x+\frac{a}{3}\right)^3-\frac{a^2}{3}x+bx-\frac{a^3}{27}+c=\left(x+\frac{a}{3}\right)^3+\left(b-\frac{a^2}{3}\right)\left(x+\frac{a}{3}\right)+\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c$$
$$-p:=b-\frac{a^2}{3}\ ,\ -q:=\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c\ ,\ X:=x+\frac{a}{3}$$
$P(x)=X^3-pX-q$に関して、$\displaystyle X=2\sqrt{\frac{p}{3}}\cos{\theta}$とおき、$P(x)=0$とすると、
$$P(x)=\frac{8p}{3}\sqrt{\frac{p}{3}}\cos^3{\theta}-2p\sqrt{\frac{p}{3}}\cos{\theta}-q=\frac{2p}{3}\sqrt{\frac{p}{3}}(4\cos^3{\theta}-3\cos{\theta})-q=0$$
$$\Longleftrightarrow \frac{2p}{3}\sqrt{\frac{p}{3}}(4\cos^3{\theta}-3\cos{\theta})=\frac{2p}{3}\sqrt{\frac{p}{3}}\cos{3\theta}=q$$
よって、
$$\theta=\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{3}{p}}\right)$$
逆置換して戻していくと、
$$X=2\sqrt{\frac{p}{3}}\cos\left\{\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{3}{p}}\right)\right\}\Longleftrightarrow x=-\frac{a}{3}+2\sqrt{\frac{p}{3}}\cos\left\{\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{3}{p}}\right)\right\}$$
したがって、$P(x)$の根は、
$$x=-\frac{a}{3}+2\sqrt{\frac{a^2-3b}{9}}\cos\left\{\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{-9(\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c)}{2(a^2-3b)}\sqrt{\frac{9}{a^2-3b}}\right)\right\}$$
$$=-\frac{a}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{a^2-3b}\cos\left\{\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{a^2-3b}}\frac{-27(\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c)}{2(a^2-3b)}\right)\right\}$$
$$=-\frac{a}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{a^2-3b}\cos\left\{\frac{1}{3}\arccos\left(-\frac{2a^3-9ab+27c}{2(a^2-3b)\sqrt{a^2-3b}}\right)\right\}$$