2025慶應理工数学第5問の別解

導入

　今回，扱うのは以下の問題です．

解法

準備

$m$の求値

　条件より$L_a(m-1)=L_a(m)$で，$L_a(m-1)=(m-1)/a$かつ$L_a(m)=\sqrt{1-(m/a{)}^2}$だから
$$\frac{m-1}{a}=\sqrt{1-{\left(\frac{m}{a}\right)}^2},\therefore m=\frac{1+\sqrt{2a^2-1}}{2}.$$

(フ)を求める

　発想の根幹としては$a$と$m$の1次式と分かっているのだから係数決定で求められないか？です．求めるもの(フ)を$N$とすると，やろうとしていることは以下の通りです．

　問題文では$N,a,m$は全て自然数となるので，$a$は何でもよいわけではありません．しかし一旦$a$の範囲を正実数に広げて考えます．

解答

　$N=c_{1}a+c_{2}m+c_3(c_1,c_2,c_3\in \mathbb{R})$とおく．$L_b(N-1)=L_b(N)$より
$$\frac{N-1}{b}=\sqrt{1-{\left(\frac{N}{b}\right)}^2},\therefore N=\frac{1+\sqrt{2b^2-1}}{2}.$$

$a=1$とすると順に$m=1$，$b=5$を得るから$N=4$．$a=5$とすると順に$m=4$，$b=29$を得るから$N=(1+\sqrt{2\cdot {29}^2-1})/2=21$．$a=1/\sqrt{2}$とすると順に$m=1/2$，$b=3/\sqrt{2}$を得るから$N=1/2+\sqrt{2}$．これらより
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}4& =c_1+c_2+c_3,\\ 21& =5c_1+4c_2+c_3,\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}+\sqrt{2}& ={\displaystyle \frac{c_1}{\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{c_2}{2}}+c_3,\end{array}⟺\{\begin{array}{ll}4& =c_1+c_2+c_3,\\ 21& =5c_1+4c_2+c_3,\\ 1+2\sqrt{2}& =\sqrt{2}{c}_1+c_2+2c_3.\end{array}\end{array}$$
$\mathrm{②}-\mathrm{①}$と$\mathrm{③}-\mathrm{①}\times 2$から
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}4c_1+3c_2& =17,\\ (\sqrt{2}-2)c_1-c_2& =-7+2\sqrt{2},\end{array}\therefore c_1=2,c_2=3.\end{array}$$
そして$c_3=-1$ゆえ$N=2a+3m-1$．

ちなみに：予備校による解答（河合塾・駿台・代ゼミ）

　$N=(1+\sqrt{2b^2-1})/2$までは同じ．ここから$b=3a+4m-2$および$m=(1+\sqrt{2a^2-1})/2$より
$$\begin{array}{rl}N& =\frac{1+\sqrt{2(3a+4m-2{)}^2-1}}{2}\\ & =\frac{1+\sqrt{2(3a+2\sqrt{2a^2-1}{)}^2-1}}{2}\\ & =\frac{1+\sqrt{34a^2+24a\sqrt{2a^2-1}-9}}{2}\\ & =\frac{1+\sqrt{(4a+3\sqrt{2a^2-1}{)}^2}}{2}\\ & =\frac{1+(4a+3\sqrt{2a^2-1})}{2}\\ & =2a+3\frac{1+\sqrt{2a^2-1}}{2}-1\\ & =2a+3m-1.\end{array}$$
よって$N=2a+3m-1$．

さいごに

　予備校の解答は，発想は単純ですが計算が複雑になってしまいます．特に，根号内で2乗形を展開してまた2乗形を作る部分は大変です．そこで穴埋めという出題形式・「1次式」というヒントを大いに活用した別解を与えました．もっと簡潔で美しい別解をご存じの方がいらしたら，教えてください．
　ところで，本稿で提示した別解の理論的背景（あるのかも分からないが）について詳しくなりたいので有識者は教えてください．