2025慶應理工数学第5問の別解
導入
今回，扱うのは以下の問題です．
座標平面上に3点A$(x,\ 0)$，B$(x,\ y)$，C$(0,\ y)$をとる．ただしBは単位円周上を動き，$x > 0$，$y>0$である．(中略)
次に，$n$を2以上の整数とし，$k = 1,\ 2,\ \cdots ,\ n-1$に対して$x = \dfrac{k}{n}$のときの線分ABとBCの短い方の長さを$L_n(k)$と表す．(中略) 2以上の整数$a$で，$L_a(k)$が最大となる$k$の値が2個あるものを考え，そのような$k$のうち大きい方の値を$m$とおく．(中略) また，$b=3a+4m-2$とおいたとき，$L_b(k)$が最大となる$k$の値も2個あり，それらの大きい方を$a$と$m$の1次式で表すと(フ)となる．
解法
準備
$m$の求値
条件より$L_a(m-1) = L_a(m)$で，$L_a(m-1) = (m-1)/a$かつ$L_a(m) = \sqrt{1 - (m/a)^2}$だから
$$
\frac{m-1}{a} = \sqrt{1 - \left(\frac{m}{a}\right)^2}, \qquad \therefore m = \frac{1 + \sqrt{2a^2 - 1}}{2}.
$$
(フ)を求める
発想の根幹としては$a$と$m$の1次式と分かっているのだから係数決定で求められないか？です．求めるもの(フ)を$N$とすると，やろうとしていることは以下の通りです．
$N = c_1 a + c_2 m + c_3 \ (c_1,c_2,c_3 \in \mathbb{R})$として組$(N,\ a,\ m)$を与え，係数$c_1,\ c_2,\ c_3$を決定する．
正確にいうと$N$も$m$も$a$の関数なので，$a$を与えたときに係数$c_1,\ c_2,\ c_3$を決定する，と述べた方が適切なのですが．
問題文では$N,\ a,\ m$は全て自然数となるので，$a$は何でもよいわけではありません．しかし一旦$a$の範囲を正実数に広げて考えます．
解答
$N = c_1 a + c_2 m + c_3 \ (c_1,c_2,c_3 \in \mathbb{R})$とおく．$L_b(N-1) = L_b(N)$より
$$
\frac{N-1}{b} = \sqrt{1 - \left(\frac{N}{b}\right)^2}, \qquad \therefore N = \frac{1 + \sqrt{2b^2 - 1}}{2}.
$$
$a = 1$とすると順に$m = 1$，$b = 5$を得るから$N = 4$．$a = 5$とすると順に$m = 4$，$b = 29$を得るから$N = (1+\sqrt{2 \cdot 29^2 - 1})/2 = 21$．$a = 1/\sqrt{2}$とすると順に$m = 1/2$，$b = 3/\sqrt{2}$を得るから$N = 1/2 + \sqrt{2}$．これらより
\begin{align}
\begin{cases}
4 &= c_1 + c_2 + c_3, \\
21 &= 5 c_1 + 4 c_2 + c_3, \\
\dfrac{1}{2} + \sqrt{2} &= \dfrac{c_1}{\sqrt{2}} + \dfrac{c_2}{2} + c_3,
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
4 &= c_1 + c_2 + c_3, \\
21 &= 5 c_1 + 4 c_2 + c_3, \\
1 + 2 \sqrt{2} &= \sqrt{2} c_1 + c_2 + 2 c_3.
\end{cases}
\end{align}
$② - ①$と$③ - ① \times 2$から
\begin{align}
\begin{cases}
4 c_1 + 3 c_2 &= 17, \\
(\sqrt{2} - 2) c_1 - c_2 &= -7 + 2 \sqrt{2},
\end{cases}
\qquad \therefore c_1 = 2,\ c_2 = 3.
\end{align}
そして$c_3 = -1$ゆえ$N = 2a + 3m - 1$．
この解答は必要条件であり，十分性を確認していません．しかし慶應理工のこの問題は穴埋めだから，これでいいのだ．
ちなみに：予備校による解答（河合塾・駿台・代ゼミ）
$N = (1 + \sqrt{2 b^2 - 1})/2$までは同じ．ここから$b = 3 a + 4 m - 2$および$m = (1 + \sqrt{2 a^2 - 1})/2$より
\begin{align}
N &= \frac{1 + \sqrt{2 (3a + 4 m - 2)^2 - 1}}{2} \\
&= \frac{1 + \sqrt{2 (3 a + 2 \sqrt{2 a^2 - 1})^2 - 1}}{2} \\
&= \frac{1 + \sqrt{34 a^2 + 24 a \sqrt{2 a^2 - 1} - 9}}{2} \\
&= \frac{1 + \sqrt{(4 a + 3 \sqrt{2 a^2 - 1})^2}}{2} \\
&= \frac{1 + (4 a + 3 \sqrt{2 a^2 - 1})}{2} \\
&= 2 a + 3 \frac{1 + \sqrt{2 a^2 - 1}}{2} - 1 \\
&= 2 a + 3 m - 1.
\end{align}
よって$N = 2 a + 3 m - 1$．
さいごに
予備校の解答は，発想は単純ですが計算が複雑になってしまいます．特に，根号内で2乗形を展開してまた2乗形を作る部分は大変です．そこで穴埋めという出題形式・「1次式」というヒントを大いに活用した別解を与えました．もっと簡潔で美しい別解をご存じの方がいらしたら，教えてください．
ところで，本稿で提示した別解の理論的背景（あるのかも分からないが）について詳しくなりたいので有識者は教えてください．
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