スキーム論クイズ（１）

可換環$R$のスペクトラムのザリスキ位相の定義は次のうちどっち？（$I$はイデアルです）
(1) $V(I)=\{\mathfrak{p}\in \text{Spec}(R)|\mathfrak{p}\subset I\}$の形の集合の補集合を開集合系とする．
(2) $V(I)=\{\mathfrak{p}\in \text{Spec}(R)|I\subset \mathfrak{p}\}$の形の集合の補集合を開集合系とする．

$\phi :R\to S$を環準同型としたとき，環のスペクトラムに誘導される射は次のように定義される．○か×か．
${}^a\phi :\text{Spec}(R)\to \text{Spec}(S);{}^a\phi (\mathfrak{p})=\phi (\mathfrak{p})$

位相空間$X$の部分集合$A$が可約であることの定義は次のうちどっち？
(1) 部分空間$A$の真開部分集合$U_1,U_2$があって$A=U_1\cup U_2$と表せる．
(2) 部分空間$A$の真閉部分集合$F_1,F_2$があって$A=F_1\cup F_2$と表せる．

準コンパクトならばNoether空間である．○か×か．

Noether空間ならば準コンパクトである．○か×か．

$\text{Spec}(R)$はNoether空間である．○か×か．

$\text{Spec}(R)$は準コンパクトである．○か×か．

$\text{Spec}(R)$の閉集合$V(I)$について，「$V(I)$が既約$⟺$$I$は素イデアル」が成り立つ．○か×か．

$\text{Spec}(R)$は$T_1$空間である．○か×か．

$R$がNoether環のとき，$\text{Spec}(R)$はNoether空間である．○か×か．

位相空間のKrull次元の定義として正しいのはどっち？
(1) $X$の既約閉集合の昇鎖列$Z_0⊊Z_1⊊\cdots ⊊Z_r$の長さの上限．
(2) $X$上の点の一般化の列$x_0,x_1,\cdots ,x_r$（任意の$i$で$\overline{\{x_i\}}⊊\overline{\{x_{i+1}\}}$）の長さの上限．

$\text{Spec}(R)$の生成点は高々1つである．○か×か．

$\mathfrak{p}\in \text{Spec}(R)$が極大イデアルでも$\mathfrak{p}$が閉点でないことがある．○か×か．

$R$のKrull次元の定義として正しいのはどっち？
(1) $R$の素イデアルの昇鎖列${\mathfrak{p}}_0⊊{\mathfrak{p}}_1⊊\cdots ⊊{\mathfrak{p}}_r$の長さの上限
(2) $R$の極大イデアルの個数

$\text{Spec}(R)$のKrull次元と$R$のKrull次元は一致しないことがある．○か×か