スキーム論クイズ（１）
例えば，「哺乳類は卵を産まない．○か×か」の答えは×としてます（カモノハシは卵を産むので）．つまり，例外が１つでもあればそれも考えるものとします．
$\text{Spec}(R)$で可換環$R$のすべての素イデアルのなす集合とする．
可換環$R$のスペクトラムのザリスキ位相の定義は次のうちどっち？（$I$はイデアルです）
(1) $V(I)=\{\mathfrak{p}\in\text{Spec}(R)|\mathfrak{p}\subset I\}$の形の集合の補集合を開集合系とする．
(2) $V(I)=\{\mathfrak{p}\in\text{Spec}(R)|I\subset \mathfrak{p}\}$の形の集合の補集合を開集合系とする．
問題1の答え
(2)$\varphi:R\rightarrow S$を環準同型としたとき，環のスペクトラムに誘導される射は次のように定義される．○か×か．
$^a\varphi:\text{Spec}(R)\rightarrow\text{Spec}(S);\,^a\varphi(\mathfrak{p})=\varphi(\mathfrak{p})$
問題2の答え
×位相空間$X$の部分集合$A$が可約であることの定義は次のうちどっち？
(1) 部分空間$A$の真開部分集合$U_1,U_2$があって$A=U_1\cup U_2$と表せる．
(2) 部分空間$A$の真閉部分集合$F_1,F_2$があって$A=F_1\cup F_2$と表せる．
問題3の答え
(2)$X$がNoether空間であるとは，閉部分集合からなる任意の降鎖列
$$X\supset X_0\supset X_1\supset\cdots\supset X_n\supset\cdots$$
に対して，$X_n=X_N$（$\forall n\ge N$）となるような$N\ge 0$が存在するという性質が満たされることである．
$X$が準コンパクトであるとは，$X$の任意の開披覆$\{U_i\}_{i\in I}$に対して，有限個の元が存在して$X=U_{i_0}\cup U_{i_1}\cup\cdots\cup U_{i_n}$となることである．
準コンパクトならばNoether空間である．○か×か．
問題4の答え
×Noether空間ならば準コンパクトである．○か×か．
問題5の答え
○$\text{Spec}(R)$はNoether空間である．○か×か．
問題6の答え
×$\text{Spec}(R)$は準コンパクトである．○か×か．
問題7の答え
○位相空間$X$の部分集合$A$は可約でないとき既約という．
$\text{Spec}(R)$の閉集合$V(I)$について，「$V(I)$が既約$\Longleftrightarrow$$I$は素イデアル」が成り立つ．○か×か．
問題8の答え
×位相空間$X$の1点集合$\{a\}$が常に閉集合であるとき，$T_1$空間という．
$\text{Spec}(R)$は$T_1$空間である．○か×か．
問題9の答え
×$R$がNoether環のとき，$\text{Spec}(R)$はNoether空間である．○か×か．
問題10の答え
○位相空間$X$の2点$x$と$y$について，$x\in\overline{\{y\}}$となっているとき，$x$は$y$の特殊化，$y$は$x$の一般化という．
位相空間のKrull次元の定義として正しいのはどっち？
(1) $X$の既約閉集合の昇鎖列$Z_0\subsetneq Z_1\subsetneq\cdots\subsetneq Z_r$の長さの上限．
(2) $X$上の点の一般化の列$x_0,x_1,\cdots,x_r$（任意の$i$で$\overline{\{x_i\}}\subsetneq \overline{\{x_{i+1}\}}$）の長さの上限．
問題11の答え
(1)位相空間$X$の点$x$について，$\overline{\{x\}}=X $が成り立つとき$x$を$X$の生成点という．
$\text{Spec}(R)$の生成点は高々1つである．○か×か．
問題12の答え
○位相空間$X$の点$x$について，$\overline{\{x\}}=\{x\}$であるとき，$x$は閉点であるという．
$\mathfrak{p}\in\text{Spec}(R)$が極大イデアルでも$\mathfrak{p}$が閉点でないことがある．○か×か．
問題13の答え
×$R$のKrull次元の定義として正しいのはどっち？
(1) $R$の素イデアルの昇鎖列$\mathfrak{p}_0\subsetneq\mathfrak{p}_1\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak{p}_r$の長さの上限
(2) $R$の極大イデアルの個数
問題14の答え
(1)$\text{Spec}(R)$のKrull次元と$R$のKrull次元は一致しないことがある．○か×か
