はじめまして.たいせいです.今回はGöbel数列という数列を紹介したいと思います。あまり馴染みがないかもしれませんが, 前提知識はそこまで多くないので色んな方に楽しんでもらいたいです.
まず唐突ではありますが, Göbel数列を定義します.歴史的な背景に興味のある方は1をご覧ください.
次のように定義される数列
とりあえず定義をしたので例を見てみましょう.
この先も興味のある方は計算してみていただきたいのですが, 定義から有理数列ではあることがわかるこのGöbel数列は, なぜか整数が続くことがわかります.
そのまえにこの数列を計算していく中で気付かれたかもしれませんが以下のような漸化式が成り立つことがわかります.
Göbel数列
特に証明はしませんが,簡単な計算でわかると思います(これに関してはある程度手を動かせば本当に簡単にわかるはずです).
そして
またまた例を見ていきましょう.
3-Göbel数列
4-Göbel数列
この
そして今回もどこまで整数であり続けるか, ということが気になるので,1つ記号(整数でなくなるポイント)を用意します.
とする.
コンピュータ計算に任せた
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
43 | 89 | 97 | 214 | 19 | 239 | 37 | 79 | 83 | 239 | |
12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | |
31 | 431 | 19 | 79 | 23 | 827 | 43 | 173 | 31 | 103 | |
22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | |
94 | 73 | 19 | 243 | 141 | 101 | 53 | 811 | 47 | 1077 | |
32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | |
19 | 251 | 29 | 311 | 134 | 71 | 23 | 86 | 43 | 47 | |
42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | |
19 | 419 | 31 | 191 | 83 | 337 | 59 | 1559 | 19 | 127 | |
52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | |
109 | 163 | 67 | 353 | 83 | 191 | 83 | 107 | 19 | 503 |
ちょっと観察すると例えば素数が多いなと思いますね. なんとなく気になることをまとめておきますが, このほかにも色んな感想があると思うので自由に眺めてもらえたらと思います.
このあたりがパッと見で気になることかと思います.そして1つ目に関して, なんとなく予想できる方がいるのかもしれませんが(僕はまさかと思いましたが笑),
つまりどんな