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現代数学解説
文献あり

Göbel数列

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はじめまして.たいせいです.今回はGöbel数列という数列を紹介したいと思います。あまり馴染みがないかもしれませんが, 前提知識はそこまで多くないので色んな方に楽しんでもらいたいです.

まず唐突ではありますが, Göbel数列を定義します.歴史的な背景に興味のある方は1をご覧ください.

Göbel数列

次のように定義される数列{gn} をGöbel数列という.
g0=1gn=1+g02+g12+gn12n(n=1,2,)

とりあえず定義をしたので例を見てみましょう.

Göbel数列

g1=1+g02=2g2=1+g02+g122=3g3=1+g02+g12+g223=5
g4=1+g02+g12+g22+g324=10g5=1+g02+g12+g22+g32+g425=28g6=1+g02+g12+g22+g32+g42+g526=154

この先も興味のある方は計算してみていただきたいのですが, 定義から有理数列ではあることがわかるこのGöbel数列は, なぜか整数が続くことがわかります.g42まで整数になり,g43で初めて整数でなくなります(そのあとはずっと整数ではない有理数が続きます).興味のある方は2をご覧ください.本記事ではこのあと, この数列の指数部分を一般のk2に置き換えたk-Göbel数列に関する定理(の一部)を同じような方針を使って証明するので省略します.ただこれだけわかってもほえ~としかならないと思いますが,k-Göbel数列についてもそれなりに整数が続くことがわかります.(面白い!)
そのまえにこの数列を計算していく中で気付かれたかもしれませんが以下のような漸化式が成り立つことがわかります.

Göbel数列{gn}について以下の漸化式が成り立つ.
ngn=gn1(n1+gn1)(n=2,3,)

特に証明はしませんが,簡単な計算でわかると思います(これに関してはある程度手を動かせば本当に簡単にわかるはずです).

そしてk-Göbel数列を定義します.

k-Göbel数列

kを2以上の整数とする. 次のように定義される数列{gk,n}k-Göbel数列という.
gk,0=1gk,n=1+gk,0k+gk,1k+gk,n1kn(n=1,2,)

またまた例を見ていきましょう.

3-Göbel数列
g3,0=1g3,1=2g3,2=1+13+232=5g3,4=1+13+23+533=45
4-Göbel数列
g4,0=1g4,1=2g4,2=1+14+242=9g4,3=1+14+24+943=2193

このk-Göbel数列についても例の感じだとある程度整数が続く気がしますね.ではどこまで整数が続くかが気になるわけですが, これもkがいろいろ動いても不思議なことにそれなりに整数が続きます.まずはk=2(普通のGöbel数列)のときに成り立っていた補題1とおなじような形の式がこの場合にも成り立つことがわかります.

k-Göbel数列{gk,n}に対して次の漸化式が成り立つ.
ngk,n=gk.n1(n1+gk,n1k1)(n=2,3,)

そして今回もどこまで整数であり続けるか, ということが気になるので,1つ記号(整数でなくなるポイント)を用意します.

k2 に対して
Nk=inf{nN;gk,nZ}
とする.

細かい注意

infはご存じなければminと読み替えてもらって大丈夫です.じゃあなんでinfなのかということですが, まだこのNkは常に有限かどうかがわかっていないからなんです!(細かいことを気にしない方やinfをまだ勉強されてない方は適当にスルーしてもらってもこの先の内容はわかるはずなので大丈夫です)

コンピュータ計算に任せたNkの表を置いておきます.もっと大きな kについても計算ができるみたいですが,それを書くには(心の)余白がありません.

k234567891011
Nk43899721419239377983239
k12131415161718192021
Nk314311979238274317331103
k22232425262728293031
Nk94731924314110153811471077
k32333435363738394041
Nk19251293111347123864347
k42434445464748495051
Nk19419311918333759155919127
k52535455565758596061
Nk10916367353831918310719503

ちょっと観察すると例えば素数が多いなと思いますね. なんとなく気になることをまとめておきますが, このほかにも色んな感想があると思うので自由に眺めてもらえたらと思います.

  • Nk はこの範囲では 19 以上.
  • Nk には素数が多く表れている.
  • Nk の持つ素因数は高々2つ?
  • Nk にはどんな素数が現れる?

このあたりがパッと見で気になることかと思います.そして1つ目に関して, なんとなく予想できる方がいるのかもしれませんが(僕はまさかと思いましたが笑), k-Göbel数列の整数性については次のことがわかっています.

mink2Nk=19 Nk=19k6,14 mod18

つまりどんな k に対しても n=18 までは整数が続くということです! かなり不思議なことが起こっていますが,定理を証明していきましょう.とはいっても長くなるので次回に回したいと思います.興味がある方は考えてみてください!

参考文献

[1]
小林銅蟲, 関信一朗, せいすうたん1
[2]
Matsuhira, Matsusaka, and Tsuchida, How long can k-Göbel sequences remain integers?, The American Mathematical Monthly , 2023, 6
投稿日:223
更新日:225
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