0
高校数学問題
文献あり

【光学】円孔による回折

253
0

回折とは

回折(diffraction)とは,空間中に伝わる波が衝立のような障害物の裏側に回り込んで伝わる現象をいう.この現象は,1665年にイタリアの数学者・物理学者であったフランチェスコ・マリア・グリマルディ[1]により初めて報告された.初等的にはホイヘンスの原理を用いて説明される.

光の回折

スリットに入射した光のスリットに近いところで観測される回折をフレネル回折(Fresnel diffraction)[2]といい,無限遠で観測される回折をフラウンホーファー回折(Fraunhofer diffraction)[3]という.
今回はそのフレネル回折とフラウンホーファー回折の中間的な回折現象である円孔による回折について扱う.

円孔による回折

円孔による回折

円孔 円孔
図1のように,yz平面に半径aの円孔の開けられた板が置かれ,円孔の中心Oを原点に,円孔に垂直にx軸をとり,x軸上で光の強度を観測する.x軸上の負方向から波長λの一様な強さの平面波の光を円孔にあてる.x軸上に適当な点P(d,0,0)をとり,
AkPOP=kλ2   (k=1,2,3,,n1)   (nN)
となるように,円孔内でy軸上正方向に点A1,A2,,An1を円周常に点Anをとる.ただし,a,λdとし,円孔内の各点を通過した光はx>0の領域へ,どの方向にも同じ強さで進行し,減衰は無視できるものとする.

  1. OA1=r1,OA2=r2,,OAn=rn=aとおくとき,半径rkrk+1(k=1,2,3,,n1)の同心円で囲まれた輪帯Ckの面積を求めよ.また,Ckの面積が近似的にkの値によらず一定とみなすことができることを示せ.
    このとき,ほぼ面積の等しい隣り合う輪帯を通過したほぼ同じ強さの光は光路が互いにλ2ずつずれているので,隣り合う輪帯の光は,x軸上の点Pで重ね合わされると干渉により互いに打ち消し合う.このように分けられた同心の輪帯をフレネルの半波長帯という.フレネルは,この輪帯を用いて光の回折現象を考察した.

  2. 光の強度が極小となり暗くなる点Pまでの点Oからの距離dを求めよ.

(1)
輪帯Ckの面積を求める.三角形OAkPについて,三平方の定理より,
rk2+d2=(AkP)2
が成り立ち,AkPの定義AkPd=kλ2より,
rk2=(kλ2+d)2d2=k2λ24+kλd
となる.ここで,求める輪帯Ckの面積はCk=π(rk+12rk2)と表されるので,
Ck=π(rk+12rk2)=π(((k+1)2λ24+(k+1)λd)2(k2λ24+kλd)2)=π(kλ22+λ24+λd)=πdλ(1+2k+14λd)πdλ
これより,円環の面積はkの値によらず近似的に一定である.
(2)
(1)の補足にあるように,各円環から点Pまでの距離がλ2ずつずれているから,円孔に一様な強さの光が照射されると,隣り合う円環からの光は互いに打ち消し合う.よって,nが偶数(n=2m,m=1,2,3,)のとき,強度は極小になる.つまり,暗くなる条件は,
AnPd=2mλ2
と表され,
AnPd=d2+a2d=d1+(ad)2da22d
より,x軸上で光の強度が極小になる位置は,
d=a22nλ
である.




[1]: フランチェスコ・マリア・グリマルディ(Francesco Maria Grimaldi,1618年〜1663年).光の回折以外にも落体の自由落下や月の表面について研究を行い,ニュートンやホイヘンスなど多くの科学者に影響を与えたといわれている.

[2]: オーギュスタン・ジャン・フレネル(Augustin Jean Fresnel,1788年〜1827年).Fresnel,1788-1827).トマス・ヤングとは独立に光の波動説を唱え,光の回折や複屈折現象など,光学に関する理論的研究を行なった.また,フレネルレンズを発明するなど,実用的な研究にも業績を残した.

[3]: ヨゼフ・フォン・フラウンホーファー(Joseph von Fraunhofer,1787年〜1826年).太陽光のスペクトルの中のフラウンホーファー線,光学分野のフラウンホーファー回折に名前を残している.

参考文献

[1]
杉山忠男, 理論物理への道標 下 光学/電磁気学/現代物理学入門 三訂版, 河合出版, 2016
投稿日:20231129
更新日:2024110
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。
バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

PRESENT
PRESENT
10
3533
‘06 高3 | JPhO'22,’23 / 科甲J’19,科甲’22,’23 / JKA小中’16,’17 記事の一覧は下のリンクから

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中
  1. 回折とは
  2. 光の回折
  3. 円孔による回折
  4. 参考文献