【紹介】線形代数群上のR同値

目的

1に沿って線形代数群（特に代数的トーラス）上のR同値について紹介する.

導入

基礎体は標数0と仮定する.
体$k$上の代数多様体$X$に対し, $k$有理点の集合を$X(k)$と表す.

elementary R-equivalentで生成される$X(k)$上の同値関係をR同値(R-equivalence)という. R-equivalenceの同値類の集合を$X(k)/R$とかく.
$X(k)/R$は, "$X$上の$k$有理点たちを有理的にパラメータ付けするのがどれだけ困難か"を測っている.
以下では線形代数群上のR-equivalenceについて紹介する. 特に, Colliot-TheleneとSansucによる代数的トーラスのR-equivalenceに関する仕事に焦点を当てる.

基本性質

$G$を$k$上の連結線形代数群とする. $R(k,G)\subset G(k)$を単位元$e$のR-equivalence classとする. このとき, $R(k,G)$は$G(k)$の正規部分群であり, $G(k)/R(k,G)\cong G(k)/R$. したがって$G(k)/R$は自然に群構造を持つ.

$k$上の代数多様体$X$が$k$有理的であるとは, $X$がaffine空間$\mathbb{A}^m_k$に双有理同値であるときをいう.
$X$が安定$k$有理的であるとは, ある$n \geq 0$に対し, $X \times_k \mathbb{A}_k^n$が$k$有理的であるときをいう.
$ $

例

ノルムトーラス

$L/k$を体の有限次Galois拡大とし, そのGalois群を$\Gamma=\operatorname{Gal}(L/k)$とする. ノルム写像
$$N_{L/k}: L^* \to k^*$$
の核$T=R^1_{_{L/k}}(\mathbb{G}_m):=\ker(N_{L/k})$は自然に$k$上の代数群の構造が入る. これを$L/k$に付随するノルムトーラスという.
核$\sigma \in \Gamma$に対し, $(\sigma -1)L^* \subset T(k)$が成り立つ.
$$I_{\Gamma}:=\ker(\epsilon:\mathbb{Z}[\Gamma]\to \mathbb{Z})$$
をaugumentation idealとすると, $I_\Gamma$は$\sigma -1$で生成される.　実は
$$T(k)/R \cong T(k)/I_\Gamma L^*$$
であることが知られている.

$\Gamma$が巡回群ならば, $T(k)/R=1$はHilbertの定理90と同値である.

特殊線形群

$A$を$k$上の中心的単純環とし, $n \geq 1$に対し$G=\operatorname{SL}_n(A)$とおく. これはreduced norm $\operatorname{GL}_n(A)\to k^*$の核である.
$[A^\times,A^\times]\subset R(k,G)$であり, 実際,
$$G(k)/R=G(k)/[A^\times,A^\times]=SK_1(A):=\operatorname{SL}_1(A)/[A^\times,A^\times]$$
であることが知られている. すなわち, $G(k)/R$は$n\geq 1$によらない.

Wedderburnの定理より$A\cong M_n(D)$であり, $D$は斜体である. $\deg(A)=\sqrt{\dim_k D}$と定義する.
Wangは, $\deg(A)$がsquare-freeなら$G$はR-trivialであることを証明した.

$A/\mathbb{Q}$がdegree$4$のcyclic division algebraのとき, $SK_1(A)=1$であるが, $G(\mathbb{Q}(G))/R\neq 1$であることが知られている.
また, degree $\ell^2$のdivision algebra$D$で, $SK_1(D)\neq 1$ となるPlatonovの例も知られている. (PlatonovによるTannaka-Artin問題の否定的解決)

Specialization

$\ell$を素数とし, 1の原始$\ell$乗根$\zeta_\ell\in k$と仮定する.
ローラン級数体$k((x))((y))$上の中心単純環を
$$A =(a,x)_{\zeta_\ell}\otimes (b,y)_{\zeta_\ell}$$
とし, $k(\sqrt[\ell]{a},\sqrt[\ell]{b})/k$に付随するノルムトーラスを$T$とするとき, 全射
$$SK_1(A)\to T(k)/R$$
が存在する.

トーラス上のR-equivalence

$k$を体, $k_s$をその分離閉包とする.
$k$上の代数的トーラス$T$に対し, $\hat{T}=\operatorname{Hom}(T\times_k k_s, k_s^*)$を指標群とする. これは$\Gamma_k:=\operatorname{Gal}(k_s/k)$が連続に作用する有限生成自由アーベル群である. このようなものを格子とよぶことにする.

flasque格子

$\Gamma$を有限群とする.
$C(\Gamma)$を$\Gamma$格子$M$の同型類$[M]$で生成され, 置換格子$P$に対し$[P]=0$という関係式を入れた半群とする. 半群の構造は
$[M]+[N]:=[M\oplus N]$によって入れる.

Shapiroの補題 より,
$$\textrm{置換格子} \Longrightarrow \textrm{invertible} \Longrightarrow \textrm{flasque かつ coflasque}.$$

加法的な写像
$p : \{ \Gamma\textrm{格子}\} \to C(\Gamma); M \mapsto [F]$
を得る.

トーラスのflasque分解

$T$を$k$上の代数的トーラスとする.
指標群がflasqueであるとき, トーラスはflasqueであるという.
指標群$\hat{T}$のflasque resolutionより, トーラスの完全列
$$1 \to S \to E \to T \to 1$$
を得る. ここで, $S$はflasqueトーラスである. Galoisコホモロジーの長完全系列から
$$E(k) \to T(k)\to H^1(k,S)\to H^1(k,E)$$
を得る. Hilbert 90より$H^1(k,E)=1$である. また$E$は$k$有理的なので, $E(k)$の像は$R(k,T)$に含まれる.

R-trivialトーラス

代数多様体がレトラクト$k$有理的であるという概念はSaltmanにより定義された. 次のような関係がある. ( Wiki "Rational variety" を参考)
$$k\textrm{有理的} \Longrightarrow \textrm{安定}k\textrm{有理的} \Longrightarrow \textrm{レトラクト}k\textrm{有理的} \Longrightarrow　\textrm{unirational}$$

安定$k$有理的トーラスの特徴づけとして次が知られている.

この予想の証拠はあまりないようである. トーラスが巡回拡大でsplitする場合にも知られていない.

$H$がsemisimpleの場合は正しい（Gille).

簡約代数群

$G$を$k$上のreductive 代数群とする.
このとき, $G$のflasque分解
$$1\to S \to \tilde{G}\to G \to 1$$
が次のように構成される:
$X$を$G$のsmoothコンパクト化とする. $S$をそのNeron-Severiトーラスとする,　すなわち, $\hat{S}=\operatorname{Pic}(X \times_k k_s)$である代数的トーラスである. このとき, $S$はflasqueトーラスである.
単位元$e \in G(k)\subset X(k)$は次の分解を与える;
$$H^1_{et}(X,S)=H^1(k,S)\oplus \operatorname{Hom}_{\Gamma_k}(\hat{S}, \operatorname{Pic}(X \times_k k_s).$$
右辺の$(0,\operatorname{id})$に対応する$X$上の$S$-torsor$\mathcal{T}\to X$をとる. これはuniversal torsorと呼ばれるものである.