スーパーの特売問題
はじめに
ネットで見つけた問題について考えてみた。
内容量が$a$グラムで、定価が$p$円の商品がある。
この商品について、次の特売方法を検討する。
- 値段を変えずに $c$% 増量する
- 内容量を変えずに、値段を $c$% 引きする。
消費者にとって、より お得なのはどちらか
1グラムあたりの値段を考える。
定価のとき
1グラムあたりの値段 $\mu$ は
$$\mu=\frac{p}{a}$$
(1)のとき: $c$%増量
値段が $p$円、量が$a\cdot \displaystyle{\frac{100+c}{100}}$グラムなので
1グラムあたりの値段$\mu_1$は
$$\mu_1=\frac{p}{a} \cdot \frac{100}{100+c}$$
(2)のとき: $c$%引き
値段が $p\cdot \displaystyle{\frac{100-c}{100}}$円、量が$a$グラムなので
1グラムあたりの値段$\mu_2$は
$$\mu_2=\frac{p}{a} \cdot \frac{100-c}{100}$$
比較
\begin{align}
\mu_1 - \mu_2&=\frac{p}{a} \left\{ \frac{100}{100+c} -\frac{100-c}{100}\right\} \\[10px]
&= \frac{p}{a} \cdot \frac{100^2-(100-c)(100+c)}{100(100+c)} \\[10px]
&= \frac{p}{a} \cdot \frac{100^2-(100^2-c^2)}{100(100+c)} \\[10px]
&= \frac{p}{a} \cdot \frac{c^2}{100(100+c)}
\end{align}
ここで$p,a,c \gt 0$なので
$$\mu_1 \gt \mu_2$$
よって1グラムあたりの値段が低い「(2):c%引き」のほうが消費者にとって得である。
おまけ
- $c_1$% 増量
- $c_2$% 引き
を考えたときに、同等となるのはどんなときか
$$\frac{100}{100+c_1}=\frac{100-c_2}{100}$$
となれば良いので
$$(100+c_1)(100-c_2)=10000$$
これを満たす$(c_1,c_2)$は、例えば
$(25, 20)$、$(100, 50)$、$(150, 60)$、$(300, 75)$、$(400, 80)$
