「有限生成ならば有限表示」は環のネーター性を導く
知らなかった事実の証明を自分用にメモしておきます．
Lam (1999) Lam の Subsection 4D を参考にしました．
環$R$を固定する．イデアルや$R$加群は全て左イデアルや左$R$加群とする．また，完全列は全て$R$加群のなすアーベル圏で考える．
$R$加群$M$が
- 有限生成であるとは，整数$n \ge 0$と完全列$R^n \to M \to 0$が存在することをいう．
- 有限表示であるとは，整数$m, n \ge 0$と完全列$R^m \to R^n \to M \to 0$が存在することをいう．
有限表示$R$加群は常に有限生成である．一方で，例えば可算無限個の不定元をもつ多項式環$R \coloneqq \Z[x_1, x_2, \dots ]$のイデアル$I \coloneqq (x_1, x_2, \dots)$について，$R$加群$R/I$は有限生成だが有限表示ではない．実際，エピ射$R^n \to R/I$は余核射$R \to R/I$の$(\pm1)$倍を$n \, (> 0)$個直和した形のものであり，その核は射影$R^n \to R$による$I$の引き戻しを含むので，$R^m$からのエピ射をもたない．〔間違っていたら教えてください．〕
$R$が左ネーターであるとは，$R$が以下の同値な条件をみたすことをいう：
- $R$の任意のイデアルは有限生成である．
- 任意の有限生成$R$加群の任意の$R$部分加群は有限生成である．
$R$が左ネーター環のときは，$R^n \to M$の形のエピ射の核は（定義の条件 (2) から）有限生成なので，ある$m$について$R^m$からのエピ射をもつ．これを用いて，任意の有限生成$R$加群が有限表示であることが示される．
実は，その逆も成り立つ：
任意の有限生成$R$加群が有限表示ならば，$R$は左ネーターである．
定義の条件 (1) を確認するために，$R$のイデアル$I$を任意にとる．短完全列
$$0 \to I \to R \to R/I \to 0$$
がある．また，仮定から有限生成$R$加群$R/I$は有限表示なので，整数$m, n \ge 0$と完全列$R^m \to R^n \to R/I \to 0$がとれる．$K \coloneqq \mathrm{Ker}(R^n \to R/I)$を用いて短完全列
$$0 \to K \to R^n \to R/I \to 0$$
が得られる．$R \to R/I \leftarrow R^n$の引き戻しを$M$で表すとき，短完全列
$$0 \to I \to M \to R^n \to 0; \quad 0 \to K \to M \to R \to 0,$$
が得られる．$R$と$R^n$は射影$R$加群だからこれらの短完全列は分裂し，$I \oplus R^n \cong M \cong K \oplus R$が成り立つ．$R^m \to R^n$はエピ射$R^m \to \mathrm{Im}(R^m \to R^n) = K$を引き起こすので，エピ射
$$R^{m+1} \cong R^m \oplus R\to K \oplus R \cong I \oplus R^n \to I$$
が得られ，$I$が有限生成なことが示された．
命題 1 の証明で用いた手法は Schanuel の補題 とよばれている．
