各辺の長さが整数であって周長がn以下の三角形の個数についての自作問題

$x+y+z=n$を満たす順序付いた正整数の組$(x,y,z)$の個数は，$_{n-1}\mathrm{C}_2$個である．ここから，各記号を入れ替えると等しい組になるものを取り除く．

• $x\neq y\neq z\neq x$である組
  それぞれ$3!=6$個ずつ存在する．
  
  
• 少なくとも$2$つの数が等しい組
  $x=y$とすると，$z=n-2x\geq1$より，この組はそれぞれ$3\left\lfloor\dfrac{n-1}{2}\right\rfloor$個ずつ存在する．
  
  
• $x=y=z$である組
  $n$が$3$の倍数のときのみ存在する．この組は先に求めた少なくとも$2$つの数が等しい組$3\left\lfloor\dfrac{n-1}{2}\right\rfloor$個のうち，$3$つ存在する．

したがって，それぞれの場合において，重複する個数をそろえてから割ればよいため
$$ Y_n=\begin{cases} \dfrac{1}{6}\left(_{n-1}\mathrm{C}_{2}+3\left\lfloor\dfrac{n-1}{2}\right\rfloor+2\right)\quad\left(3\mid n\right)\\ \dfrac{1}{6}\left(_{n-1}\mathrm{C}_{2}+3\left\lfloor\dfrac{n-1}{2}\right\rfloor\right)\quad\quad\left(\mathrm{otherwise}\right) \end{cases}$$
である．

また，$\left\lfloor\dfrac{n-1}{2}\right\rfloor=\dfrac{n-1}{2}-\dfrac{1-(-1)^{n-1}}{4}$と
$$\dfrac{1}{9}(1+\omega^n+\omega^{2n})=\begin{cases}1\quad(3\mid n)\\0\quad(\mathrm{otherwise})\end{cases}$$であることを用いれば，
$$Y_n=\dfrac{n^2}{12}-\dfrac{7}{72}+\dfrac{(-1)^{n-1}}{8}+\dfrac{\omega^n+\omega^{2n}}{9}$$
を得る．

まずは$X_{2n}=Y_n$から示す．
$0\lt x\leq y\leq z$とする．
$$x+y+z=n\Longrightarrow (n-z)+(n-y)+(n-x)=2n$$
であり，$Y_n$個の$x+y+z=n$を満たす組$(x,y,z)$それぞれに対して，組$(n-x,n-y,n-z)$の長さを各辺に持つ三角形が対応するため，$X_{2n}\geq Y_n$である．

また，$X_{2n}$は$$\begin{cases} x+y+z=2n\\ x\leq y\leq z\\ z \lt x+y \end{cases}$$を満たす組の個数である．
$z \lt x+y$より，$z< n$である．
$$x+y+z=2n\Longrightarrow (n-z)+(n-y)+(n-x)=n$$
であり，各辺の長さが$x,y,z$である三角形が存在するような$X_{2n}$個の組$(x,y,z)$に対して，$Y_n$個の和が$n$となる正整数の組$(n-z,n-y,n-x)$が対応するため，$X_{2n}\leq Y_n$ であり，$X_{2n}=Y_n$である．

次に，$X_{2n}=X_{2n-3}$を示す．
$$\begin{cases} x+y+z=2n\\ x\leq y\leq z\\ z \lt x+y \end{cases}$$
を満たす$X_{2n}$個の組$(x,y,z)$に対して，$x=1$と仮定すると，$y+z=2n-1$である．
また，$z\lt y+1$より$z\leq y$かつ$y\leq z$であるため，$y=z$だが，$2y=2n-1$を満たす$y$は存在しないため矛盾．よって，$x\leq2$としてよい．
$1$つ目の式について，辺々$3$を引くと，$$(x-1)+(y-1)+(z-1)=2n-3$$が成立する．
明らかに，$0\lt(x-1)\leq(y-1)\leq(z-1)$であり，$(x-1)+(y-1)-(z-1)=2n-2z-1\gt0$であるため，
$X_{2n}$個の組$(x,y,z)$に対して，組$(x-1,y-1,z-1)$が対応するため，$X_{2n}\leq X_{2n-3}$

また，$$\begin{cases} x+y+z=2n-3\\ x\leq y\leq z\\ z \lt x+y \end{cases}$$
を満たす$X_{2n-3}$個の組$(x,y,z)$に対して，$z+1\lt (x+1)+(y+1)$で$0\lt(x+1)\leq(y+1)\leq(z+1)$であるため，
各組$(x,y,z)$に対して対応する組$(x+1,y+1,z+1)$が存在するため，$X_{2n}\geq X_{2n-3}$であり，$X_{2n}= X_{2n-3}$である．

以上より，$X_{2n}=X_{2n-3}=Y_n$が示された．