各辺の長さが整数であって周長がn以下の三角形の個数についての自作問題

$x+y+z=n$を満たす順序付いた正整数の組$(x,y,z)$の個数は，${}_{n-1}{\mathrm{C}}_2$個である．ここから，各記号を入れ替えると等しい組になるものを取り除く．

• $x\ne y\ne z\ne x$である組
  それぞれ$3!=6$個ずつ存在する．
  
  
• 少なくとも$2$つの数が等しい組
  $x=y$とすると，$z=n-2x\ge 1$より，この組はそれぞれ$3\lfloor {\displaystyle \frac{n-1}{2}}\rfloor$個ずつ存在する．
  
  
• $x=y=z$である組
  $n$が$3$の倍数のときのみ存在する．この組は先に求めた少なくとも$2$つの数が等しい組$3\lfloor {\displaystyle \frac{n-1}{2}}\rfloor$個のうち，$3$つ存在する．

したがって，それぞれの場合において，重複する個数をそろえてから割ればよいため
$$Y_n=\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{6}}({}_{n-1}{\mathrm{C}}_2+3\lfloor {\displaystyle \frac{n-1}{2}}\rfloor +2)(3\mid n)\\ {\displaystyle \frac{1}{6}}({}_{n-1}{\mathrm{C}}_2+3\lfloor {\displaystyle \frac{n-1}{2}}\rfloor )\left(\mathrm{otherwise}\right)\end{array}$$
である．

また，$\lfloor {\displaystyle \frac{n-1}{2}}\rfloor ={\displaystyle \frac{n-1}{2}}-{\displaystyle \frac{1-(-1{)}^{n-1}}{4}}$と
$${\displaystyle \frac{1}{9}}(1+{\omega }^n+{\omega }^{2n})=\{\begin{array}{l}1(3\mid n)\\ 0(\mathrm{otherwise})\end{array}$$であることを用いれば，
$$Y_n={\displaystyle \frac{n^2}{12}}-{\displaystyle \frac{7}{72}}+{\displaystyle \frac{(-1{)}^{n-1}}{8}}+{\displaystyle \frac{{\omega }^n+{\omega }^{2n}}{9}}$$
を得る．

まずは$X_{2n}=Y_n$から示す．
$0<x\le y\le z$とする．
$$x+y+z=n⟹(n-z)+(n-y)+(n-x)=2n$$
であり，$Y_n$個の$x+y+z=n$を満たす組$(x,y,z)$それぞれに対して，組$(n-x,n-y,n-z)$の長さを各辺に持つ三角形が対応するため，$X_{2n}\ge Y_n$である．

また，$X_{2n}$は$$\{\begin{array}{l}x+y+z=2n\\ x\le y\le z\\ z<x+y\end{array}$$を満たす組の個数である．
$z<x+y$より，$z<n$である．
$$x+y+z=2n⟹(n-z)+(n-y)+(n-x)=n$$
であり，各辺の長さが$x,y,z$である三角形が存在するような$X_{2n}$個の組$(x,y,z)$に対して，$Y_n$個の和が$n$となる正整数の組$(n-z,n-y,n-x)$が対応するため，$X_{2n}\le Y_n$ であり，$X_{2n}=Y_n$である．

次に，$X_{2n}=X_{2n-3}$を示す．
$$\{\begin{array}{l}x+y+z=2n\\ x\le y\le z\\ z<x+y\end{array}$$
を満たす$X_{2n}$個の組$(x,y,z)$に対して，$x=1$と仮定すると，$y+z=2n-1$である．
また，$z<y+1$より$z\le y$かつ$y\le z$であるため，$y=z$だが，$2y=2n-1$を満たす$y$は存在しないため矛盾．よって，$x\le 2$としてよい．
$1$つ目の式について，辺々$3$を引くと，$$(x-1)+(y-1)+(z-1)=2n-3$$が成立する．
明らかに，$0<(x-1)\le (y-1)\le (z-1)$であり，$(x-1)+(y-1)-(z-1)=2n-2z-1>0$であるため，
$X_{2n}$個の組$(x,y,z)$に対して，組$(x-1,y-1,z-1)$が対応するため，$X_{2n}\le X_{2n-3}$

また，$$\{\begin{array}{l}x+y+z=2n-3\\ x\le y\le z\\ z<x+y\end{array}$$
を満たす$X_{2n-3}$個の組$(x,y,z)$に対して，$z+1<(x+1)+(y+1)$で$0<(x+1)\le (y+1)\le (z+1)$であるため，
各組$(x,y,z)$に対して対応する組$(x+1,y+1,z+1)$が存在するため，$X_{2n}\ge X_{2n-3}$であり，$X_{2n}=X_{2n-3}$である．

以上より，$X_{2n}=X_{2n-3}=Y_n$が示された．