JMO2022本選2
JMO2022-2を◯◯射的なノリの方針で解いたので解法を紹介します．
関数$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$であって，任意の$m,n\in \mathbb{N}$が$f^{f(n)}(m)+mn=f(m)f(n)$をみたすものをすべて求めよ．
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$P(x,y)$で与式への代入を表す．
$f$は単射である．
正整数$a,b$が$f(a)=f(b)$をみたすと仮定すると，$P(n,a)$と$P(n,b)$を比較することで$a=b$が従う．
$n$がすべての正整数を動くとき，$f(n)$は$1$を除くすべての正整数値をとる．また，$f(1)=2$である．
単射性から$f(n)$が最小値をとる唯一の$n$が存在するのでそれを$k$とおく．任意の$n\ne k$について$P(n,k)$と$P(k,n)$から$f^{f(n)}(k)=f^{f(k)}(n)$が成り立ち，これと$f$の単射性から$f^{f(n)-f(k)}(k)=n$がわかる．したがって任意の$n\ne k$について$f(m)=n$なる正整数$m$が存在する．
また，$f(c)=1$なる正整数$c$の存在を仮定すると，$P(n,c)$から$f(n)+c=f(n)$すなわち$c=0$が得られ矛盾．したがってこのような$c$は存在せず，よって$k=1$である．
補題2から$P(n,1)$より$f(f(n))=2f(n)-n$が従う．$n$に$1,2,\dots$を代入していくことにより帰納的に任意の正整数$n$について$\boxed{f(n)=n+1}$が成り立つことがわかる．十分性は明らか．
以上です．嘘議論してそうで怖いですが多分回ってると信じてます．お読みくださりありがとうございました．
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