競技数学解説

JMO2022本選2

JMO,関数方程式

293

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

　JMO2022-2を◯◯射的なノリの方針で解いたので解法を紹介します．

JMO2022 本選2

　関数 $f : N \to N$ であって，任意の $m, n \in N$ が $f^{f (n)} (m) + m n = f (m) f (n)$ をみたすものをすべて求めよ．

.
.
.
.
.
.
.
.　（申し訳程度のネタバレ防止）
.
.
.
.
.
.
.

　 $P (x, y)$ で与式への代入を表す．

　 $f$ は単射である．

　正整数 $a, b$ が $f (a) = f (b)$ をみたすと仮定すると， $P (n, a)$ と $P (n, b)$ を比較することで $a = b$ が従う．

　 $n$ がすべての正整数を動くとき， $f (n)$ は $1$ を除くすべての正整数値をとる．また， $f (1) = 2$ である．

　単射性から $f (n)$ が最小値をとる唯一の $n$ が存在するのでそれを $k$ とおく．任意の $n \neq k$ について $P (n, k)$ と $P (k, n)$ から $f^{f (n)} (k) = f^{f (k)} (n)$ が成り立ち，これと $f$ の単射性から $f^{f (n) - f (k)} (k) = n$ がわかる．したがって任意の $n \neq k$ について $f (m) = n$ なる正整数 $m$ が存在する．
　また， $f (c) = 1$ なる正整数 $c$ の存在を仮定すると， $P (n, c)$ から $f (n) + c = f (n)$ すなわち $c = 0$ が得られ矛盾．したがってこのような $c$ は存在せず，よって $k = 1$ である．