$$\newcommand{BA}[0]{\begin{align*}}
\newcommand{BC}[0]{\begin{cases}}
\newcommand{BE}[0]{\begin{equation}}
\newcommand{bl}[0]{\boldsymbol}
\newcommand{BM}[0]{\begin{matrix}}
\newcommand{D}[0]{\displaystyle}
\newcommand{EA}[0]{\end{align*}}
\newcommand{EC}[0]{\end{cases}}
\newcommand{EE}[0]{\end{equation}}
\newcommand{EM}[0]{\end{matrix}}
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\newcommand{vep}[0]{\varepsilon}
$$
1．定義と記法
$\hspace{5pt}$まず、核となる関数と添字集合を定めます。
$\begin{align}\displaystyle \beta_x=\frac{\Gamma(x+\frac{1}{2})}{\sqrt{\pi}\,\Gamma(x+1)},\quad c=\frac{2}{\pi},\quad \Lambda_0=\{0,1,2,\ldots\},\quad\Lambda_1=\L\{\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2},\ldots\R\}.\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle p(k,a)=\begin{cases}-a &(k\text{ odd}),\\1-a &(k\text{ even}),\end{cases}\quad \Delta_p(x)=(2x+1)^p-(-2x)^p,\quad q_{k,a}(x)=(-1)^{k\lfloor x\rfloor}\Delta_{p(k,a)}(x)\beta_x^k.\end{align}$
$\hspace{5pt}$$\epsilon_+=0$、$\epsilon_-=1$ とします。
$\begin{align}\displaystyle &Z^{\sigma}\!\binom{k_1,\ldots,k_d}{a_1,\ldots,a_d}=\sum_{\substack{0\le x_1<\cdots< x_d\\x_j\in\Lambda_{(\epsilon_\sigma+j-1)\bmod 2}}}\prod_{j=1}^d q_{k_j,a_j}(x_j),\quad \sigma\in\{+,-\}\\\ &S^{\sigma}(k_1,\ldots,k_d)=\sum_{\substack{0\le x_1<\cdots< x_d\\x_j\in\Lambda_{(\epsilon_\sigma+j-1)\bmod 2}}}\prod_{j=1}^d\beta_{x_j}^{k_j}.\end{align}$
$\hspace{5pt}$下段がすべて $-1$ の場合は $Z^\sigma(k_1,\ldots,k_d)$ と略記します。$\{w\}^r$ はインデックスの列 $w$ を $r$ 回連結した列とし、反復回数 $0$ は空列を表します。空列の値は $Z^\sigma(\varnothing)=S^\sigma(\varnothing)=1$ とします。
$\hspace{5pt}$以下では次の定数と略記を使用します。
$\begin{align}\displaystyle A=S^+(3)=\frac{\pi}{\Gamma(\frac{3}{4})^4},\quad B=S^-(3),\quad G=L(2,\chi_4),\quad t(s)=(1-2^{-s})\zeta(s),\quad L(s,\chi_4)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^s}.\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle P_n=S^+(\{3\}^n),\quad Q_n=S^-(\{3\}^n),\quad U_n=S^+(\{4\}^n),\quad V_n=S^-(\{4\}^n),\quad X_n=Z^+(\{6\}^n),\quad M_n=Z^-(\{6\}^n).\end{align}$
$\hspace{5pt}$完全楕円積分は法を引数に取るものとし、
$\begin{align}\displaystyle K(k)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}},\quad K_c(k)=K(\sqrt{1-k^2}),\quad\kappa(t)=cK(\sqrt{t}).\end{align}$
2．母関数と特殊値
$\hspace{5pt}$上段に $4$ を反復し、末尾に $3$ を置いた正号側の級数は、任意の整数 $k\ge0$ に対して次の値を取ります。
$\begin{align}\displaystyle Z^+(\{4\}^k,3)=\frac{(-1)^{\lfloor\frac{k}{2}\rfloor}c^{k+1}}{k!},\quad\sum_{k=0}^{\infty}Z^+(\{4\}^k,3)\tau^k=c(\cos(c\tau)+\sin(c\tau)).\end{align}$
$\hspace{5pt}$負号側の $z_{k+1}=Z^-(\{4\}^k,3)$ には積分表示と二つの母関数があります。
$\begin{align}\displaystyle z_{k+1}=\frac{(-1)^{\lfloor\frac{k}{2}\rfloor}c^{k+3}}{k!}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{u(cu-1)^k}{\sin u}\,du.\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle &\sum_{r=0}^{\infty}z_{2r+1}\tau^{2r}=c^3\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{u\cos(c\tau(cu-1))}{\sin u}\,du,\\&\sum_{r=0}^{\infty}z_{2r+2}\tau^{2r+1}=c^3\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{u\sin(c\tau(cu-1))}{\sin u}\,du.\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle z_1=2c^3G,\quad z_2=2c^4G-\frac{7}{2}c^5\zeta(3),\quad z_3=6c^7L(4,\chi_4)-\frac{7}{2}c^6\zeta(3).\end{align}$
$\hspace{5pt}$次に $H_k=Z^+(\{4\}^k,5)$ とおきます。任意の整数 $k\ge0$ について、
$\begin{align}\displaystyle H_k=\frac{(-1)^{\lfloor\frac{k}{2}\rfloor}c^{2k+3}}{k!}\int_0^{\frac{\pi}{2}}u^kK(\cos u)\,du.\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}H_k\tau^k=c^3\int_0^{\frac{\pi}{2}}K(\cos u)(\cos(c^2\tau u)+\sin(c^2\tau u))\,du.\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle \sum_{r=0}^{\infty}H_{2r}\tau^{2r}=\frac{2}{\Gamma(\frac{3}{4}+\frac{c^2\tau}{4})^2\Gamma(\frac{3}{4}-\frac{c^2\tau}{4})^2}.\end{align}$
$\hspace{5pt}$$d_j=L(2j,\chi_4)-t(2j)$ とおくと、偶数添字の係数は有限分割和で表せます。
$\begin{align}\displaystyle H_{2r}=c^{4r+1}A\sum_{\substack{m_1,\ldots,m_r\ge0\\m_1+2m_2+\cdots+rm_r=r}}\prod_{j=1}^{r}\frac{d_j^{m_j}}{j^{m_j}m_j!}\qquad(r\ge0).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle H_0=cA,\quad H_1=c^2B,\quad H_2=c^5A\!\qty(G-\frac{\pi^2}{8}),\quad H_4=\frac{c^9A}{2}\!\qty(\qty(G-\frac{\pi^2}{8})^2+L\qty(4,\chi_4)-\frac{\pi^4}{96}).\end{align}$
$\hspace{5pt}$負号側の奇数個の $4$ については、次の一般式が得られています。ここで $\D\frac{1}{\cos x}=\sum_{j=0}^{\infty}e_{2j}\frac{x^{2j}}{(2j)!}$ により Euler 数 $e_{2j}$ を定めます。
$\begin{align}\displaystyle Z^-(\{4\}^{2r+1},5)=\sum_{j=0}^{r}H_{2r-2j}\L(\frac{e_{2j+2}c^{2j+1}}{(2j+1)!}-4(j+1)c^{4j+4}t(2j+3)\R)\qquad(r\ge0).\end{align}$
$\hspace{5pt}$低い深さでの特殊値は次のとおりです。
$\begin{align}\displaystyle &Z^+(3)=c,\quad Z^-(3)=2c^3G,\quad Z^+(5)=cA,\quad Z^+(5,3)=c^2A,\quad Z^+(3,5)=c^2(A-B).\\&Z^+(4,5)=c^2B,\quad Z^+(5,5)=\frac{c^2A^2}{3},\quad Z^-(3,5)=c^2A(2c^2G-1),\quad Z^-(4,5)=c^2A-\frac{7}{2}c^5A\zeta(3).\end{align}$
$\hspace{5pt}$$F_r=Z^+(\{3\}^{2r},5)$ については
$\begin{align}\displaystyle F_r=(-1)^rc^{3r+2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^{r+1}}\sum_{j=0}^{n}\beta_j^2\beta_{n-j}=\frac{c^{3r+1}}{r!}\int_0^{\frac{\pi}{2}}K(\sin\theta)\log^r\sin\theta\,d\theta.\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle F_0=cA,\quad F_1=-\frac{c^3A}{3},\quad F_2=\frac{c^7A}{72}(48G-\pi^2),\quad18F_2-12c^2H_2=5c^5A.\end{align}$
$\hspace{5pt}$両端に $3$ を置いた場合も積分表示が得られます。$m\ge1$ に対して、
$\begin{align}\displaystyle Z^+(3,\{4\}^m,3)=\frac{(-1)^{\lfloor\frac{m+1}{2}\rfloor}c^{2m+3}}{m!}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{u^m}{\sin u}\,du.\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty}Z^+(3,\{4\}^m,3)\tau^m=c^3\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(c^2\tau u)-\sin(c^2\tau u)-1}{\sin u}\,du.\end{align}$
$\hspace{5pt}$この列について、次の二つの有限和が得られています。
$\begin{align}\displaystyle \sum_{\substack{a+b=N\\a,b\ge1}}c^{4b-1}t(2b)Z^+(3,\{4\}^{2a-1},3)=\frac{1}{2}Z^+(3,\{4\}^{2N-2},3)-c^{4N-1}t(2N-1)\qquad(N\ge2).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle \sum_{\substack{a+b=N\\a,b\ge0}}c^{4b+1}L(2b+1,\chi_4)Z^+(3,\{4\}^{2a+1},3)=-c^{4N+5}L(2N+2,\chi_4)\qquad(N\ge0).\end{align}$
$\hspace{5pt}$さらに、Euler 多項式 $E_j(x)$ と係数 $p_{r,k},q_{r,k}$ を次のように定めます。
$\begin{align}\displaystyle \frac{2e^{xu}}{e^u+1}=\sum_{j=0}^{\infty}E_j(x)\frac{u^j}{j!}.\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle \sum_{k=0}^{2r+1}q_{r,k}X^k=\frac{2^{2r+2}E_{2r+2}(\frac{1+X}{2})}{1+X},\quad\sum_{k=0}^{2r}p_{r,k}X^k=\frac{2^{2r+1}E_{2r+1}(1+\frac{X}{2})}{1+X}.\end{align}$
$\hspace{5pt}$任意の整数 $r\ge0$ について、負号側の $z_k$ は次の有限和を満たします。
$\begin{align}\displaystyle \sum_{k=0}^{2r+1}q_{r,k}(-1)^{\lfloor\frac{k}{2}\rfloor}k!c^{-2r-k-4}z_{k+1}=2(-1)^{r+1}(2r+2)!t(2r+3).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle \sum_{k=0}^{2r}p_{r,k}(-1)^{\lfloor\frac{k}{2}\rfloor}k!c^{-2r-k-3}z_{k+1}=2(-1)^r(2r+1)!L(2r+2,\chi_4).\end{align}$
3．反復列の評価と有限畳み込み
$\hspace{5pt}$上段がすべて $5$ の正号側について
$\begin{align}\displaystyle Z^+(\{5\}^d)=\varepsilon_dc^dP_d,\quad\varepsilon_d=\begin{cases}-1 &(d\equiv3\pmod4)\\1 &(\text{others})\end{cases}\qquad d\ge1.\end{align}$
$\hspace{5pt}$上段が $6$ の列には、次の有限畳み込みが得られています。
$\begin{align}\displaystyle X_{2r}=(-1)^rc^{2r}\sum_{j=0}^{2r}(-1)^jU_jU_{2r-j}\qquad(r\ge1).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle Z^+(4,\{6\}^{2r+1})=(-1)^rc^{2r+2}\sum_{j=0}^{2r+1}(-1)^jU_{2r+1-j}V_j\qquad(r\ge0).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle \sum_{j=0}^{2r}(-1)^jX_jX_{2r-j}=(-1)^rc^{2r}\sum_{j=0}^{2r}U_jU_{2r-j}\qquad(r\ge1).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle X_1^2=c^2(3U_1^2-2U_2),\quad Z^+(4,6)=c^2(U_1-V_1).\end{align}$
$\hspace{5pt}$負号側を含む関係にも、$D_r,J_r$ を用いた有限和が得られています。
$\begin{align}\displaystyle D_r=\sum_{j=0}^{r}X_{2j}X_{2r-2j}-(-1)^rc^{2r}\sum_{j=0}^{2r}U_jU_{2r-j},\quad J_r=\sum_{j=0}^{r}X_{2j}M_{2r-2j}.\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle \sum_{j=1}^{r-1}J_jJ_{r-j}=\sum_{j=1}^{r-1}D_j\sum_{k=0}^{r-j-1}M_{2k+1}M_{2r-2j-2k-1}\qquad(r\ge2).\end{align}$
$\hspace{5pt}$さらに、末尾に $3$ を置くと $S$ の単一の値へ変換できます。以下の二式も一般の $n$ については数値予想です。
$\begin{align}\displaystyle Z^+(\{6\}^n,3)=(-1)^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}c^{n+1}U_n\qquad(n\ge0).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle Z^+(4,\{6\}^n,3)=(-1)^{\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor}c^{n+2}V_n\qquad(n\ge0).\end{align}$
$\hspace{5pt}$$5$ と $6$ を含む列については、次の関係が得られています。
$\begin{align}\displaystyle Z^+(6,\{5\}^{2r-1})=c^{2r}S^+(4,\{3\}^{2r-1})\qquad(r\ge1).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle Z^+(\{5,6,5\}^r)=(-1)^rc^{3r}S^+(\{3,4,3\}^r)\qquad(r\ge1).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle Z^+(\{5,5,6\}^r)=(-1)^rZ^+(\{6,5,5\}^r)\qquad(r\ge1).\end{align}$
$\hspace{5pt}$これを一般化し、$m\ge1$、$k_1,\ldots,k_m\ge0$、$|\k|=k_1+\cdots+k_m$ とすると
$\begin{align}\displaystyle Z^+(5,\{6\}^{k_1},5,\ldots,5,\{6\}^{k_m},5)=(-1)^{\D\frac{|\k|(|\k|+1)}{2}+\sum_{i=1}^{m}(m-i)k_i}c^{|\k|+2m}S^+(3,\{4\}^{k_1},3,\ldots,3,\{4\}^{k_m},3).\end{align}$
$\hspace{5pt}$また、$a,b,m\ge0$ で
$\begin{align}\displaystyle Z^+(\{6\}^a,\{5\}^{2m},\{6\}^b)=(-1)^{m(a+b)}Z^+(\{6\}^b,\{5\}^{2m},\{6\}^a).\end{align}$
$\hspace{5pt}$上段 $3$ と $5$ の四列反復については、$r\ge0$ で
$\begin{align}\displaystyle Z^+(\{3,3,5,5\}^r)=\frac{4^rc^{4r}A^{2r}}{(4r+1)!}.\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle Z^+(\{5,3,3,5\}^r)=\frac{4^rc^{4r}A^{2r}}{(4r)!}.\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle Z^+(\{3,3,5,5\}^r,3,3,5)=-\frac{2\cdot4^rc^{4r+3}A^{2r+1}}{(4r+3)!}.\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle Z^+(\{5,3,3,5\}^r,5)=\frac{4^rc^{4r+1}A^{2r+1}}{(4r+1)!(2r+1)}.\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle Z^+(5,5,\{3,3,5,5\}^r)=\frac{2\cdot4^rc^{4r+2}A^{2r+2}}{(4r+3)!}.\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle Z^+(3,\{5\}^{2r+1},3)=(-1)^{r+1}c^{2r+3}Q_{2r+1}.\end{align}$
$\hspace{5pt}$二つの四列周期を組み合わせると、さらに次の有限畳み込みが得られています。
$\begin{align}\displaystyle \sum_{\substack{a+b=r\\a,b\ge0}}Z^+(\{3,5,5,3\}^a)Z^+(\{5,3,3,5\}^b)-\sum_{\substack{a+b=r-1\\a,b\ge0}}Z^+(\{3,5,5,3\}^a,3,5)Z^+(\{5,3,3,5\}^b,5,3)=\frac{(-1)^r2^{4r-1}}{(4r)!}(Z^+(5,3))^{2r}\qquad(r\ge1).\end{align}$
$\hspace{5pt}$特に $r=1$ では、
$\begin{align}\displaystyle Z^+(3,5,5,3)-Z^+(3,5)Z^+(5,3)=-\frac{1}{2}(Z^+(5,3))^2.\end{align}$
$\hspace{5pt}$負号側でも一般の有限畳み込みが得られています。以下の公式に限り、各列を簡潔に記します。
$\begin{align}\displaystyle a_r=Z^-(\{3,3,5,5\}^r),\quad b_r=Z^-(\{3,5,5,3\}^r),\quad d_r=Z^-(\{5,3,3,5\}^r).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle g_r=Z^-(\{3,5,5,3\}^r,3,5,5),\quad h_r=Z^-(\{5,3,3,5\}^r,5).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle k_r=Z^-(\{5,3,3,5\}^r,5,3),\quad\ell_r=Z^-(\{3,5,5,3\}^r,3,5).\end{align}$
$\hspace{5pt}$$a_0=b_0=d_0=1$、$g_{-1}=0$ とし、
$\begin{align}\displaystyle p_r=\frac{4^rc^{4r}A^{2r}}{(4r+1)!},\quad q_r=\frac{2\cdot4^rc^{4r+3}A^{2r+1}}{(4r+3)!}.\end{align}$
$\hspace{5pt}$とおくと、$r\ge1$ に対して、
$\begin{align}\displaystyle a_r=\sum_{i+j+k=r}p_i(b_j-cg_{j-1})d_k+\sum_{i+j+k=r-1}q_i(b_j-cg_{j-1})h_k-\sum_{i+j+k=r-1}p_i(k_j-ch_j)\ell_k-\sum_{i+j+k=r-2}q_i(k_j-ch_j)g_k.\end{align}$
$\hspace{5pt}$ここで、各総和の添字は非負整数とし、和次数が負のときは $0$ とします。
$\hspace{5pt}$続いて、上段に $6,7,8$ を含む有限深さの関係をまとめます。
$\begin{align}\displaystyle &Z^+(6,3)=c^2U_1.\\&Z^-(3,6,3)=Z^-(3)Z^+(6,3)-\frac{c^2}{2}Z^+(6).\\&Z^+(3,6,3)=cZ^+(3,6)-\frac{c^2}{2}Z^+(6).\\&Z^+(4,6,3)=c(Z^+(4,6)-Z^+(6,3)).\\&2Z^-(4,6)+7c^4\zeta(3)Z^+(6)=4c^2U_1^2.\\&Z^-(3,8,3)+2Z^-(4,8,3)+7c^4\zeta(3)Z^+(8,3)=Z^-(3)Z^+(8,3)+c^2Z^+(8).\end{align}$
$\hspace{5pt}$$n=2r-1$、$r\ge1$ に対する、上段 $7$ を一つ含む次の挿入和は
$\begin{align}\displaystyle Z^+(\{6\}^n,7,3)+\sum_{j=0}^{r-1}(Z^+(\{6\}^{2j},7,4,\{6\}^{n-2j})-Z^+(\{6\}^{2j+1},4,7,\{6\}^{n-2j-1}))=cZ^+(\{6\}^n,7).\end{align}$
$\hspace{5pt}$このほかにも、次の有限関係が得られています。
$\begin{align}\displaystyle Z^+(4,7,5)=Z^+(5)(Z^+(4,7)+Z^+(7,3)-cZ^+(7)).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle Z^+(5)Z^-(4,6)-Z^+(6)Z^-(4,5)=cZ^+(6,5).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle Z^-(4,6,3)+Z^+(3,6,3)-\frac{c^2}{2}Z^+(6)=-\frac{7}{2}c^6\zeta(3)U_1.\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle 2Z^+(6,3,3,6)+Z^-(3,6,6,3)-cZ^-(3,6,6)=-2c^6G(U_1^2-U_2).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle Z^+(4,8,6)-Z^+(6,4,8)+Z^+(8,4,6)=Z^+(6)Z^+(4,8).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle Z^+(4,8,6)+Z^+(8)Z^-(4,6)=Z^+(6)(Z^+(4,8)+Z^-(4,8)).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle 6(Z^+(4,4,7,3)-Z^+(7,4,4,3))+c^2(2Z^+(3,7)+Z^+(7,3)-2Z^-(4,7))=7c^6\zeta(3)Z^+(7).\end{align}$
$\hspace{5pt}$偶数個の $5$ を両端の $3$ で挟む場合には、次の深さ $8$ の関係が得られています。
$\begin{align}\displaystyle 6Z^+(3,\{5\}^6,3)=c^8(-A^3Q_3+A^2P_3Q_1+3AQ_5+3P_5Q_1-6P_4Q_2-6P_3^2+15P_3Q_3-9Q_6).\end{align}$
4．末尾に$5$を含む列の評価と有限和
$\hspace{5pt}$まず、$4$ を偶数個並べて $5,3$ を続けた列は、任意の整数 $r\ge0$ に対して有限分割和で評価できます。
$\begin{align}\displaystyle Z^+(\{4\}^{2r},5,3)=c^{4r+2}A\sum_{\substack{m_1,\ldots,m_r\ge0\\m_1+2m_2+\cdots+rm_r=r}}\prod_{j=1}^{r}\frac{L(2j,\chi_4)^{m_j}}{j^{m_j}m_j!}.\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle rZ^+(\{4\}^{2r},5,3)=\sum_{j=1}^{r}c^{4j}L(2j,\chi_4)Z^+(\{4\}^{2r-2j},5,3)\qquad(r\ge1).\end{align}$
$\hspace{5pt}$最初の数例は次のとおりです。
$\begin{align}\displaystyle &Z^+(4,4,5,3)=c^6AG.\\&Z^+(\{4\}^4,5,3)=\frac{c^{10}A}{2}(G^2+L(4,\chi_4)).\\&Z^+(\{4\}^6,5,3)=\frac{c^{14}A}{6}(G^3+3GL(4,\chi_4)+2L(6,\chi_4)).\end{align}$
$\hspace{5pt}$$\mu=c^2t$ とおくと、その母関数は $|\mu|<1$ で次の形になります。
$\begin{align}\displaystyle \sum_{r=0}^{\infty}Z^+(\{4\}^{2r},5,3)t^{2r}=\frac{c}{\pi^2}\frac{\Gamma(\frac{1+\mu}{4})\Gamma(\frac{1-\mu}{4})}{\Gamma(\frac{3+\mu}{4})\Gamma(\frac{3-\mu}{4})}.\end{align}$
$\hspace{5pt}$次に、$4$ の個数が奇数の場合には、任意の整数 $r\ge1$ に対して
$\begin{align}\displaystyle Z^+(3,\{4\}^{2r-1},5)+cZ^+(\{4\}^{2r-1},5)=-2rc^{4r+1}A\sum_{\substack{m_1,\ldots,m_r\ge0\\m_1+2m_2+\cdots+rm_r=r}}\prod_{j=1}^{r}\frac{d_j^{m_j}}{j^{m_j}m_j!}.\end{align}$
$\hspace{5pt}$$n\ge0$ に対しては、次の一般式が得られています。
$\begin{align}\displaystyle Z^+(3,\{4\}^n,5)=(-1)^ncH_n-(n+1)H_{n+1}.\end{align}$
$\hspace{5pt}$負号側では、$4$ が偶数個の場合の一般式が得られています。任意の整数 $r\ge0$ に対して、
$\begin{align}\displaystyle Z^-(3,\{4\}^{2r},5)=2\sum_{j=1}^{r+1}(2j-1)c^{4j-1}d_jH_{2r+2-2j}.\end{align}$
$\hspace{5pt}$$b_0=1$ および
$\begin{align}\displaystyle b_n=\sum_{\substack{m_1,\ldots,m_n\ge0\\m_1+2m_2+\cdots+nm_n=n}}\prod_{j=1}^{n}\frac{d_j^{m_j}}{j^{m_j}m_j!}\qquad(m\ge1)\end{align}$
$\hspace{5pt}$とおけば、定数のみを用いた表示は、
$\begin{align}\displaystyle Z^-(3,\{4\}^{2r},5)=2c^{4r+4}A\sum_{j=1}^{r+1}(2j-1)d_jb_{r+1-j}.\end{align}$
$\hspace{5pt}$となります。最初の三例は、
$\begin{align}\displaystyle &Z^-(3,5)=c^2A(2c^2G-1).\\&Z^-(3,4,4,5)=2c^8A(d_1^2+3d_2).\\&Z^-(3,\{4\}^4,5)=c^{12}A(d_1^3+7d_1d_2+10d_3).\end{align}$
$\hspace{5pt}$同じ一般式は、次の二次の有限和としても表せます。
$\begin{align}\displaystyle c\sum_{\substack{a+b=r\\a,b\ge0}}Z^-(3,\{4\}^{2a},5)H_{2b}=\sum_{\substack{a+b=r+1\\a,b\ge0}}(2(a-b)^2-r-1)H_{2a}H_{2b}\qquad(r\ge0).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle &cH_0Z^-(3,4,4,5)=12H_0H_4-4H_2^2.\\&cH_0^2Z^-(3,\{4\}^4,5)=30H_0^2H_6-16H_0H_2H_4+4H_2^3.\end{align}$
$\hspace{5pt}$これらの式は、$\D\mathcal H(t)=\sum_{r=0}^{\infty}H_{2r}t^{2r}$ を用いると、一つの母関数にまとめられます。
$\begin{align}\displaystyle \mathcal H(t)=\frac{2}{\Gamma(\frac{3+c^2t}{4})^2\Gamma(\frac{3-c^2t}{4})^2}.\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle \sum_{r=0}^{\infty}Z^-(3,\{4\}^{2r},5)t^{2r}=\frac{\mathcal H(t)}{c}\frac{d^2}{dt^2}\log\mathcal H(t).\end{align}$
$\hspace{5pt}$続いて、$5$ の列に二つの $4$ を挿入する位置和を述べます。以下では $W_{n,j}^{(44)}=Z^+(\{5\}^j,4,4,\{5\}^{n-j}),\quad 0\le j< n$ とします。任意の整数 $r\ge1$ に対して、
$\begin{align}\displaystyle 4(1+(-1)^r)\sum_{b=0}^{\lfloor\frac{r}{2}\rfloor}W_{2r+2,4b}^{(44)}-\sum_{b=0}^{r}W_{2r+2,2b+1}^{(44)}=2\sum_{a=0}^{r}Z^+(\{5\}^{2r-2a+1})\sum_{b=0}^{a}W_{2a+1,2b}^{(44)}-4(-1)^r\sum_{a=0}^{r-1}Z^+(\{5\}^{2r-2a})\sum_{\substack{b=0\\b+a\text{ even}}}^aW_{2a+2,2b}^{(44)}+\frac{c^2}{2}\sum_{a=0}^{r}Z^+(\{5\}^{2a+1})Z^+(\{5\}^{2r-2a+1}).\end{align}$
$\hspace{5pt}$最初の二例と低深さの特殊例を示します。
$\begin{align}\displaystyle 8W_{2,0}^{(44)}-W_{2,1}^{(44)}=2Z^+(5)W_{1,0}^{(44)}+\frac{c^2}{2}(Z^+(5))^2.\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle 8Z^+(4,4,5,5)-Z^+(5,4,4,5)=\frac{c^4A^2}{2}(4c^2G-1).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle -W_{4,1}^{(44)}-W_{4,3}^{(44)}=2Z^+(5)\L(W_{3,0}^{(44)}+W_{3,2}^{(44)}\R)+2Z^+(5,5,5)W_{1,0}^{(44)}+4Z^+(5,5)W_{2,0}^{(44)}+c^2Z^+(5)Z^+(5,5,5).\end{align}$
$\hspace{5pt}$同じ系列では、一般式に単純には含まれない次の有限深さの関係も得られています。以下に限って $R_n=Z^+(\{5\}^n)$ と記します。
$\begin{align}\displaystyle 2\L(W_{3,2}^{(44)}-W_{3,1}^{(44)}\R)=14\L(R_2W_{1,0}^{(44)}-R_1W_{2,0}^{(44)}\R)+3c^2R_1R_2.\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle 6W_{4,1}^{(44)}-8W_{4,2}^{(44)}=4\L(R_1W_{3,0}^{(44)}+R_2W_{2,0}^{(44)}+R_3W_{1,0}^{(44)}\R)+c^2\L(7R_1R_3+3R_2^2\R).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle 24\L(W_{4,2}^{(44)}-W_{4,1}^{(44)}\R)=-24R_1^2\L(W_{2,0}^{(44)}-\frac{R_1W_{1,0}^{(44)}}{3}\R)+c^2R_1^4-12c^2R_1R_3.\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle 72\L(W_{5,2}^{(44)}-W_{5,3}^{(44)}\R)=72R_3\L(W_{2,0}^{(44)}-\frac{R_1W_{1,0}^{(44)}}{3}\R)+12c^2R_1^2R_3+c^2R_1^5.\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle 72\L(W_{6,4}^{(44)}-W_{6,2}^{(44)}\R)=-24W_{1,0}^{(44)}R_1^5-48W_{1,0}^{(44)}R_1^2R_3+64W_{2,0}^{(44)}R_1^4+144W_{2,0}^{(44)}R_1R_3-48W_{3,0}^{(44)}R_1^3-24W_{4,0}^{(44)}R_1^2-7c^2R_1^6-48c^2R_1^3R_3.\end{align}$
5．$5$の列に$4$を含む場合の反転公式と和公式
$\hspace{5pt}$この節に限り $p_n=Z^+(\{5\}^n)$、$p_0=1$、$V_{p,t,q}=Z^+(\{5\}^p,\{4\}^t,\{5\}^q)$、$W_{p,q}=V_{p,1,q}$ とおきます。
$\hspace{5pt}$正の奇数 $p,q,t$ について、次の反転関係が得られています。
$\begin{align}\displaystyle V_{p,t,q}=(-1)^{\frac{p+q}{2}-1}V_{q,t,p}.\end{align}$
$\hspace{5pt}$さらに、$a\ge0,\,r\ge1$ に対して、
$\begin{align}\displaystyle \Phi_r^\epsilon(a)=\sum_{j=0}^{r-1}(-1)^jp_jZ^\epsilon(\{4\}^a,\{5\}^{r-j})\qquad(\epsilon\in\{+,-\})\end{align}$
$\hspace{5pt}$と定めます。$p+q\equiv0\pmod4$ のとき、次の関係が得られています。
$\begin{align}\displaystyle 2V_{p,t,q}=\sum_{j=1}^{p-1}(-1)^jp_jV_{q,t,p-j}-\sum_{j=1}^{q-1}(-1)^jp_jV_{p,t,q-j}+\sum_{\substack{h=1\\h\text{ odd}}}^t(\Phi_p^+(t-h)\Phi_q^-(h)-\Phi_p^-(h)\Phi_q^+(t-h)).\end{align}$
$\hspace{5pt}$一方、$p+q\equiv2\pmod4$ では、上式の右辺が $0$ となります。
$\hspace{5pt}$次に、$4$ の挿入位置について符号付き和を考えます。$E_0=O_0=O_1=0$ とし、
$\begin{align}\displaystyle E_n=\sum_{\substack{j=0\\j\text{ even}}}^{n-1}(-1)^{\frac{j}{2}}W_{j,n-j},\quad O_n=\sum_{\substack{j=0\\j\text{ odd}}}^{n-1}(-1)^{\frac{j-1}{2}}W_{j,n-j}\end{align}$
$\hspace{5pt}$とおきます。次の二つの一般式が得られています。
$\begin{align}\displaystyle E_{4r+2}=\sum_{k=1}^{4r+1}(-1)^{k-1}p_kE_{4r+2-k}-\frac{c}{2}\sum_{j=0}^{2r}(-1)^jp_{2j+1}p_{4r+1-2j}\qquad(r\ge0).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle O_{4r}=\sum_{k=1}^{4r-2}(-1)^{k-1}p_kO_{4r-k}+\frac{c}{2}\sum_{j=0}^{2r}(-1)^jp_{2j}p_{4r-2j}\qquad(r\ge1).\end{align}$
$\hspace{5pt}$例として、
$\begin{align}\displaystyle &E_6=W_{0,6}-W_{2,4}+W_{4,2}.\\&E_6=p_1E_5-p_2E_4+p_3E_3-p_4E_2+p_5E_1-cp_1p_5+\frac{c}{2}p_3^2.\\&O_8=W_{1,7}-W_{3,5}+W_{5,3}-W_{7,1}.\\&O_8=p_1O_7-p_2O_6+p_3O_5-p_4O_4+p_5O_3-p_6O_2+cp_8-cp_2p_6+\frac{c}{2}p_4^2.\end{align}$
$\hspace{5pt}$正号側のみを用いた有限深さの関係としては、
$\begin{align}\displaystyle 4W_{1,3}=2p_1W_{1,2}-2p_2W_{1,1}+c(2p_4-p_2^2).\end{align}$
$\hspace{5pt}$も得られています。
$\hspace{5pt}$純粋な $5$ の偶数深さについては、次の二つの再帰式が得られています。
$\begin{align}\displaystyle p_{4r}=-\sum_{j=1}^{4r-1}p_jp_{4r-j}\qquad(r\ge1).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle 3p_{4r+2}=\sum_{j=1}^{4r+1}(-1)^{j+1}p_jp_{4r+2-j}\qquad(r\ge0).\end{align}$
$\hspace{5pt}$低次の例は、
$\begin{align}\displaystyle p_2=\frac{p_1^2}{3},\quad p_4=-\frac{p_1^4}{9}-2p_1p_3,\quad p_6=\frac{2p_1^6+36p_1^3p_3+54p_1p_5+27p_3^2}{81}.\end{align}$
$\hspace{5pt}$となります。さらに、次の特殊値も得られています。
$\begin{align}\displaystyle V_{1,1,3}=\frac{p_1}{2}V_{1,1,2}-\frac{p_1^2}{6}V_{1,1,1}-cp_1p_3-\frac{c}{12}p_1^4.\end{align}$
$\hspace{5pt}$左右の $5$ の個数が異なる偶奇をもつ場合には、次の三式が得られています。
$\begin{align}\displaystyle W_{3,2}=p_1W_{2,2}+\frac{p_1^3}{2}W_{1,1}-\frac{5p_1^2}{6}W_{1,2}-p_1^2W_{2,1}+\frac{cp_1^5}{12}+\frac{cp_3p_1^2}{2}.\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle W_{1,4}=p_1W_{0,4}-p_1^2W_{0,3}+\L(\frac{p_1^4}{3}-p_1p_3\R)W_{0,1}+\L(\frac{p_1^2}{6}-\frac{p_3}{p_1}\R)W_{1,2}-\L(\frac{p_1^3}{6}+2p_3\R)W_{1,1}-\frac{cp_1^5}{4}-\frac{3cp_3p_1^2}{2}.\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle W_{2,4}=p_1W_{2,3}+\frac{p_1^2}{3}W_{0,4}-\frac{p_1^3}{3}W_{0,3}+\L(\frac{p_1^5}{9}-\frac{p_3p_1^2}{3}\R)W_{0,1}+\L(\frac{p_1^4}{6}-p_1p_3\R)W_{1,1}-\frac{p_1^3}{2}W_{1,2}+\L(p_3-\frac{p_1^3}{3}\R)W_{2,1}-\frac{cp_1^6}{12}-cp_3p_1^3.\end{align}$
$\hspace{5pt}$中央を $4$ にする場合、$\D\tan\frac{x}{2}=\sum_{j=0}^{\infty}\tau_jx^{2j+1}$ とおけば、
$\begin{align}\displaystyle Z^+(\{4\}^{2r+1},5,5)=p_1Z^+(\{4\}^{2r+1},5)-p_1\sum_{j=0}^{r}\tau_jc^{2j+1}Z^+(\{4\}^{2r-2j},5)\qquad(r\ge0).\end{align}$
$\hspace{5pt}$中央を $6$ に置き換えた $W_{p,q}^{(6)}=Z^+(\{5\}^p,6,\{5\}^q)$ に対しても、$p,q\ge0$ がともに偶数で $p+q\equiv2\pmod4$ のとき、次の関係があります。
$\begin{align}\displaystyle 2W_{p,q}^{(6)}=\sum_{j=1}^{p}(-1)^jp_jW_{q,p-j}^{(6)}-\sum_{j=1}^{q}(-1)^jp_jW_{p,q-j}^{(6)}.\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle 2Z^+(6,5,5)=Z^+(5)Z^+(6,5)-Z^+(5,5)Z^+(6).\end{align}$
6．$5,6$を含む列の反転公式と$3,5$の周期列
$\hspace{5pt}$長さ $1$ の列 $(6)$ と、列 $(5,\{4\}^k,5)$ を任意の順序で $L$ 個連結して得られるインデックスを $w$ とします。後者に現れる $k+1$ の総和を $D$ とし、$\operatorname{rev}(w)$ を列の順序を逆にしたものとします。
$\hspace{5pt}$一般の反転公式は
$\begin{align}\displaystyle Z^+(w)=(-1)^{(L-1)D}Z^+(\operatorname{rev}(w)).\end{align}$
$\hspace{5pt}$奇数長の $5$ と $6$ の列 $u=(a_1,\ldots,a_N)$ に対して、$u_j=(a_1,\ldots,a_j)$、$v_j=(a_N,\ldots,a_{j+1})$ とします。$Z^+(u,4,5)=-Z^+(5,4,\operatorname{rev}(u))$ が成り立つ場合には、次の関係が得られています。
$\begin{align}\displaystyle 2Z^+(u,4,5)=\sum_{j=1}^{N-1}(-1)^jZ^+(u_j)(Z^+(5,4,v_j)-p_1Z^-(4,v_j))-p_1Z^-(4,\operatorname{rev}(u))+Z^+(u)Z^-(4,5).\end{align}$
$\hspace{5pt}$次に、$3$ と $5$ を含む四列周期の付加公式をまとめます。ここでも $p_1=Z^+(5)=cA$ とします。
$\begin{align}\displaystyle Z^+(\{5,5,3,3\}^r,5)=\frac{4^rc^{2r}p_1^{2r+1}}{(4r+1)!}\qquad(r\ge0).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle Z^+(\{3,5,5,3\}^r)-cZ^+(\{3,5,5,3\}^{r-1},3,5,5)=\frac{4^rc^{2r}p_1^{2r}}{(4r)!}\qquad(r\ge1).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle Z^+(\{3,3,5,5\}^r,3)=\frac{4^rc^{2r+1}p_1^{2r}}{(4r+1)!}\qquad(r\ge0).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle Z^+(\{5,3,3,5\}^r,5,3)=\frac{2\cdot4^rc^{2r+1}p_1^{2r+1}}{(4r+2)!}\qquad(r\ge0).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle Z^+(5,5,\{3,3,5,5\}^r,3)=-\frac{2\cdot4^rc^{2r+1}p_1^{2r+2}}{(4r+3)!}\qquad(r\ge0).\end{align}$
$\hspace{5pt}$また、深さ $4$ から深さ $2$ への関係として、
$\begin{align}\displaystyle Z^+(4,3,5,5)-Z^+(5,3,4,5)=cp_1Z^+(4,5)-\frac{c^2}{3}p_1^2.\end{align}$
$\hspace{5pt}$が得られています。
7．挿入和と下段を変更した列の関係式
$\hspace{5pt}$下段 $-3$ を配置する位置の集合 $J$ に対して、次の記法を定めます。
$\begin{align}\displaystyle Z_J^+(u_1,\ldots,u_d)=Z^+\!\binom{u_1,\ldots,u_d}{a_1,\ldots,a_d},\quad a_j=\begin{cases}-3 &(j\in J),\\-1 &(j\notin J).\end{cases}\end{align}$
$\hspace{5pt}$また、上段 $7$ の下段だけを $-3$ とする列を、$7_{-3}$ と略記します。
$\hspace{5pt}$まず、下段がすべて $-1$ の場合の挿入和を述べます。$I_{d,j}=Z^+(\{5\}^j,3,3,\{5\}^{d-j-2})$ とおくと、
$\begin{align}\displaystyle 2\sum_{k=0}^{r-2}(-1)^kI_{2r,2k+1}=(-1)^rc^{2r}P_{2r-2}\qquad(r\ge2).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle -3I_{2r+1,0}+2\sum_{k=1}^{r-1}(-1)^{k-1}I_{2r+1,2k}=c^{2r+1}P_{2r-1}\qquad(r\ge1).\end{align}$
$\hspace{5pt}$同様に、二つの $4$ を $6$ の列に挿入すると、
$\begin{align}\displaystyle 2\sum_{j=0}^{n}(-1)^jZ^+(\{6\}^j,4,4,\{6\}^{n-j},3)=(-1)^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor}c^{n+3}V_n\qquad(n\ge0).\end{align}$
$\hspace{5pt}$次に、上段がすべて $5$ の列に $-3$ を一箇所だけ配置した関係です。
$\begin{align}\displaystyle Z_3^+(\{5\}^5)-Z_1^+(\{5\}^5)=\frac{c^7}{30}(A^3-10P_3).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle -Z_1^+(\{5\}^7)+2Z_2^+(\{5\}^7)-2Z_3^+(\{5\}^7)-Z_4^+(\{5\}^7)+2Z_5^+(\{5\}^7)=\frac{c^9}{630}(20A^5-343A^2P_3+210P_5).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle Z_3^+(\{5\}^{10})-Z_4^+(\{5\}^{10})=Z_7^+(\{5\}^{10})-Z_8^+(\{5\}^{10}).\end{align}$
$\hspace{5pt}$末尾に $3$ を加えた $Y_{n,j}=Z_j^+(\{5\}^n,3)$ に対しても、次の公式が得られています。
$\begin{align}\displaystyle Y_{3,1}-Y_{3,2}=-\frac{c^6A}{3}.\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle \sum_{j=0}^{r-1}(-Y_{4r+1,4j+1}-Y_{4r+1,4j+2}+Y_{4r+1,4j+3}+Y_{4r+1,4j+4})=c^{4r+4}P_{4r-1}\qquad(r\ge1).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle -3Y_{4r+3,1}+3Y_{4r+3,2}+\sum_{j=0}^{r-1}(Y_{4r+3,4j+3}-3Y_{4r+3,4j+4}-Y_{4r+3,4j+5}+3Y_{4r+3,4j+6})=c^{4r+6}P_{4r+1}\qquad(r\ge0).\end{align}$
$\hspace{5pt}$複数の隣接位置の交代差をまとめるため、$J={j_1,\ldots,j_m}$ と $|\boldsymbol\epsilon|=\epsilon_1+\cdots+\epsilon_m$ に対して、
$\begin{align}\displaystyle \mathcal H_{2r}(J)=\sum_{\boldsymbol\epsilon\in\{0,1\}^m}(-1)^{|\boldsymbol\epsilon|}Z_{\{2j_i-1+\epsilon_i:1\le i\le m\}}^+(\{5\}^{2r}).\end{align}$
$\hspace{5pt}$と定めます。次の四つの反転関係が確認されています。
$\begin{align}\displaystyle &\mathcal H_{12}(\{2,4\})=\mathcal H_{12}(\{3,5\}).\\&\mathcal H_{40}(\{4,12\})=\mathcal H_{40}(\{9,17\}).\\&\mathcal H_{18}(\{2,4,6\})=\mathcal H_{18}(\{4,6,8\}).\\&\mathcal H_{28}(\{2,5,8,11\})=\mathcal H_{28}(\{4,7,10,13\}).\end{align}$
$\hspace{5pt}$上段に $6$ を含む $W_{r,j}=Z_j^+(\{5\}^{2r+1},6)$ に対しては、次の公式が得られています。
$\begin{align}\displaystyle (1-(-1)^r)W_{r,1}+\sum_{k=1}^{r}(-1)^k(W_{r,2k}+W_{r,2k+1})=c^{2r+4}S^+(4,\{3\}^{2r-1})\qquad(r\ge1).\end{align}$
$\hspace{5pt}$複数の下段を変更する反転関係も得られています。$1\le j_1<\cdots< j_k\le r-1$ とすると、次の式が得られています。
$\begin{align}\displaystyle \sum_{\boldsymbol\epsilon\in\{0,1\}^k}(-1)^{|\boldsymbol\epsilon|}Z_{\{2j_i+\epsilon_i:1\le i\le k\}}^+(6,\{5\}^{2r})=(-1)^r\sum_{\boldsymbol\epsilon\in\{0,1\}^k}(-1)^{|\boldsymbol\epsilon|}Z_{\{2(r-j_i)+1+\epsilon_i:1\le i\le k\}}^+(\{5\}^{2r},6).\end{align}$
$\hspace{5pt}$上段中央に $6$ の列を置いた $R_{s,k,j}=Z_j^+(\{5\}^{2s},\{6\}^k,\{5\}^{2s})$ に対しては、
$\begin{align}\displaystyle R_{s,k,2h+1}-R_{s,k,2h+2}=R_{s,k,4s+k-2h-1}-R_{s,k,4s+k-2h}\qquad(1\le h\le s-1).\end{align}$
$\hspace{5pt}$という反転関係があります。
$\hspace{5pt}$上段 $7$ の下段を一方だけ $-3$ に変更すると、$r\ge1$ に対して、
$\begin{align}\displaystyle Z^+(7_{-3},\{5\}^{2r-1},7)-Z^+(7,\{5\}^{2r-1},7_{-3})=(-1)^{r+1}c^3Z^+(7,\{5\}^{2r-1}).\end{align}$
$\hspace{5pt}$が得られています。隣接する二つの $7$ に関する挿入和は、
$\begin{align}\displaystyle \sum_{j=0}^{r-1}(-1)^j(Z^+(\{5\}^{2j},7_{-3},7,\{5\}^{2r-2j-1})-Z^+(\{5\}^{2j},7,7_{-3},\{5\}^{2r-2j-1}))=(-1)^{r-1}c^2(cZ^+(\{5\}^{2r-1},7)-Z^+(\{5\}^{2r-1},7,3))\qquad(r\ge1).\end{align}$
$\hspace{5pt}$特に $r=1$ の式は、次のようにも表せます。
$\begin{align}\displaystyle Z^+(7_{-3},7,5)-Z^+(7,7_{-3},5)=c^2(Z^+(5)Z^+(3,7)-Z^+(3,7,5))=c^3Z^+(5,7)-c^2Z^+(5,7,3).\end{align}$
$\hspace{5pt}$正号と負号を組み合わせた低い深さの関係としては、
$\begin{align}\displaystyle Z^+(7_{-3})Z^-(5,7)-Z^+(7)Z^-(5,7_{-3})=c^3Z^+(7,5).\end{align}$
$\hspace{5pt}$また、別の特殊値として
$\begin{align}\displaystyle \L(Z^+(7_{-3},7)-Z^+(7,7_{-3})\R)^2=c^3\L(3Z^+(7_{-3},7,7)+2Z^+(7,7_{-3},7)-5Z^+(7,7,7_{-3})\R).\end{align}$
$\hspace{5pt}$上段 $7$ の下段を一つ変更した深さ $4$ の六項和を、
$\begin{align}\displaystyle \Sigma_7=Z^+(5,3,7,7_{-3})-Z^+(5,3,7_{-3},7)-Z^+(7,3,5,7_{-3})+Z^+(7,7_{-3},5,3)+Z^+(7_{-3},3,5,7)-Z^+(7_{-3},7,5,3).\end{align}$
$\hspace{5pt}$と定めます。次の三つの表示が得られています。
$\begin{align}\displaystyle &\Sigma_7=c^3(cZ^+(5)Z^+(7)-Z^+(5)Z^+(7,3)+Z^+(5)Z^-(4,7)-Z^+(7)Z^-(4,5)-cZ^+(7,5))\\ &\Sigma_7=cZ^+(5)(Z^+(7,7_{-3})-Z^+(7_{-3},7)+c^3Z^+(7)-2c^2Z^+(7,3))\\ &\Sigma_7=c^3(Z^+(5,3,7)+Z^+(5,7,3)-Z^+(7,3,5))-c^4Z^+(5,7)\end{align}$
$\hspace{5pt}$最初の二式を比較すると、次の低深さの関係も得られます。
$\begin{align}\displaystyle Z^+(5)(Z^+(7,7_{-3})-Z^+(7_{-3},7))=c^2(Z^+(5)(Z^+(7,3)+Z^-(4,7))-Z^+(7)Z^-(4,5)-cZ^+(7,5)).\end{align}$
$\hspace{5pt}$二項の交換差については、次の別の関係があります。
$\begin{align}\displaystyle Z^+(7,3,7_{-3},5)-Z^+(7_{-3},3,7,5)=c^3(Z^+(7)(Z^+(3,5)-Z^+(4,5))+2Z^+(4,5,7)).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle Z^+(7,3,7_{-3},5)-Z^+(7_{-3},3,7,5)=c^4Z^+(5)Z^+(7)-2c^3Z^+(7)Z^+(4,5)+2c^3Z^+(4,5,7).\end{align}$
$\hspace{5pt}$この交換差を $5$ の反復列に挿入した和を、$r\ge1$ に対して
$\begin{align}\displaystyle \Delta_r=\sum_{j=0}^{r-1}(Z^+(\{5\}^{2j},7,3,7_{-3},\{5\}^{2r-2j-1})-Z^+(\{5\}^{2j},7_{-3},3,7,\{5\}^{2r-2j-1})).\end{align}$
$\hspace{5pt}$とおきます。正の偶数 $N$ に対して、次の一般式が得られています。
$\begin{align}\displaystyle \sum_{k=0}^{N-1}(-1)^kZ^+(\{5\}^{2k})\Delta_{N-k}=c^4\sum_{j=0}^{N-1}(-1)^jZ^+(\{5\}^{2N-1-2j})Z^+(\{5\}^{2j},7).\end{align}$
$\hspace{5pt}$したがって、再帰表示は
$\begin{align}\displaystyle \Delta_N=\sum_{k=1}^{N-1}(-1)^{k+1}Z^+(\{5\}^{2k})\Delta_{N-k}+c^4\sum_{j=0}^{N-1}(-1)^jZ^+(\{5\}^{2N-1-2j})Z^+(\{5\}^{2j},7).\end{align}$
$\hspace{5pt}$上段 $4,6,8$ を含む一般挿入和も得られています。$n$ を正の奇数とすると、
$\begin{align}\displaystyle Z^+(4,8,\{6\}^n)-\sum_{j=0}^{\frac{n-1}{2}}Z^+(\{6\}^{2j+1},4,8,\{6\}^{n-2j-1})+\sum_{j=0}^{\frac{n-1}{2}}Z^+(\{6\}^{2j},8,4,\{6\}^{n-2j})=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^kZ^+(4,8,\{6\}^k)Z^+(\{6\}^{n-k}).\end{align}$
$\hspace{5pt}$$n=3$ の具体例は、
$\begin{align}\displaystyle Z^+(4,8,6,6,6)-Z^+(6,4,8,6,6)-Z^+(6,6,6,4,8)+Z^+(8,4,6,6,6)+Z^+(6,6,8,4,6)=Z^+(4,8)Z^+(6,6,6)-Z^+(4,8,6)Z^+(6,6)+Z^+(4,8,6,6)Z^+(6).\end{align}$
$\hspace{5pt}$となります。さらに次の深さ $5$ の関係も得られています。
$\begin{align}\displaystyle Z^+(6,8,6,4,6)-Z^+(8,6,4,6,6)=Z^+(6)(Z^+(4,6,8,6)-Z^+(6,4,6,8))+Z^+(6,4,6)Z^+(6,8)-Z^+(4,6,6)Z^+(8,6).\end{align}$
$\hspace{5pt}$深さ $8$ の有限和としては、以下の $17$ 項関係が得られています。$b_{jk}\ne0$ の位置で $E_{j,k}=Z_k^+(\{5\}^{j-1},3,3,\{5\}^{6-j},3)$ と定義し、
$\begin{align}\displaystyle (b_{jk})=\begin{pmatrix}0&0&-4&9&4&-9\\8&0&0&12&-8&-6\\8&-13&0&0&2&9\\-2&-10&-6&0&0&0\\0&5&0&1&0&0\end{pmatrix}.\end{align}$
$\hspace{5pt}$とすると、次の式が数値予想として得られています。
$\begin{align}\displaystyle \sum_{\substack{1\le j\le5,\ 1\le k\le6\\b_{jk}\ne0}}b_{jk}E_{j,k}=2c^{10}P_3.\end{align}$
8．$6$を含む列の深さの削減と四列反復公式
$\hspace{5pt}$まず、上段 $6$ の列に隣接する二つの $3$ を挿入した関係を示します。
$\begin{align}\displaystyle 17Z^+(6,3,3,6,6)-33Z^+(6,6,3,3,6)=c^5(20U_1U_2-6U_1^3)=2c^3U_1(12c^2U_1^2-5X_1^2).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle 31Z^+(6,3,3,\{6\}^4)-163Z^+(\{6\}^2,3,3,\{6\}^3)-45Z^+(\{6\}^3,3,3,\{6\}^2)+65Z^+(\{6\}^4,3,3,6)&=c^7(2U_1^5-22U_1^3U_2+6U_1^2U_3+66U_1U_2^2+44U_1U_4-108U_2U_3)\\&=c^5(54X_1^2-24c^2U_1^2)U_3-20c^7U_1^5+33c^5U_1^3X_1^2-11c^3U_1X_1^4+44c^3U_1X_1X_3.\end{align}$
$\hspace{5pt}$位置の異なる $4,3$ と $3,4$ を組み合わせると、$r\ge0$ に対して
$\begin{align}\displaystyle \sum_{j=0}^{r}(Z^+(\{6\}^{2j},4,3,\{6\}^{2r+1-2j},3)-Z^+(\{6\}^{2j+1},3,4,\{6\}^{2r-2j},3))=\frac{(-1)^rc^{2r+4}}{2}\sum_{a=0}^{2r+1}(-1)^aV_aU_{2r+1-a}.\end{align}$
$\hspace{5pt}$偶数個の $6$ に対しても、次の関係が得られています。
$\begin{align}\displaystyle \sum_{j=0}^{r}Z^+(\{6\}^{2j},4,3,\{6\}^{2r-2j})-\sum_{j=0}^{r-1}Z^+(\{6\}^{2j+1},3,4,\{6\}^{2r-2j-1})=(-1)^rc^{2r+2}U_{2r}\qquad(r\ge0).\end{align}$
$\hspace{5pt}$次に、偶数位置での有限分割を用いた一般の反復公式を述べます。語 $w=(w_1,\ldots,w_d)$ に対して $E_d={2,4,\ldots,2\lfloor\frac{d-1}{2}\rfloor}$ とし、$d\le2$ のときは $E_d=\varnothing$ とします。$J={j_1<\cdots< j_m}\subseteq E_d$ のとき $j_0=0$、$j_{m+1}=d$ とします。
$\begin{align}\displaystyle \mathcal C(w)=\sum_{J\subseteq E_d}(-1)^{|J|}\prod_{\nu=0}^{|J|}Z^+(w_{j_\nu+1},\ldots,w_{j_{\nu+1}}).\end{align}$
$\hspace{5pt}$この有限和は、次の再帰でも定義できます。
$\begin{align}\displaystyle \mathcal C(w_1,\ldots,w_d)=Z^+(w_1,\ldots,w_d)-\sum_{\substack{i=2\\i\text{ even}}}^{d-1}\mathcal C(w_1,\ldots,w_i)Z^+(w_{i+1},\ldots,w_d).\end{align}$
$\begin{align}\displaystyle \mathcal C(6,7)=Z^+(6,7),\quad\mathcal C(4,7,7)=Z^+(4,7,7)-Z^+(4,7)Z^+(7).\end{align}$
$\hspace{5pt}$以下では、分割によって生じる各 $Z$ が通常の意味で収束する場合に限ります。
$\hspace{5pt}$二つの $3$ を含む列については、任意の整数 $r,s\ge1$ に対して次の一般公式が成り立ちます。
$\begin{align}\displaystyle \mathcal C(4,\{6\}^{2r},3,3,\{6\}^{2s})+\mathcal C(4,\{6\}^{2s},3,3,\{6\}^{2r})=-c(\mathcal C(\{6\}^{2r},3)\mathcal C(\{6\}^{2s},3)+\mathcal C(4,\{6\}^{2r})\mathcal C(4,\{6\}^{2s})).\end{align}$
$\hspace{5pt}$特に $r=s=n\ge1$ では、
$\begin{align}\displaystyle 2\mathcal C(4,\{6\}^{2n},3,3,\{6\}^{2n})=-c((\mathcal C(\{6\}^{2n},3))^2+(\mathcal C(4,\{6\}^{2n}))^2).\end{align}$
$\hspace{5pt}$二つの $7$ を含む列については、任意の整数 $r,s\ge0$ に対して次の一般公式が得られています。
$\begin{align}\displaystyle c(\mathcal C(4,\{6\}^{2s},7,7,\{6\}^{2r})+\mathcal C(4,\{6\}^{2r},7,7,\{6\}^{2s}))=\mathcal C(\{6\}^{2r},7,3)\mathcal C(\{6\}^{2s},7,3)-c^2\mathcal C(\{6\}^{2r},7)\mathcal C(\{6\}^{2s},7).\end{align}$
$\hspace{5pt}$特に $r=s=n\ge0$ では、
$\begin{align}\displaystyle 2c\mathcal C(4,\{6\}^{2n},7,7,\{6\}^{2n})=(\mathcal C(\{6\}^{2n},7,3))^2-c^2(\mathcal C(\{6\}^{2n},7))^2.\end{align}$
$\hspace{5pt}$$n=0$ の場合は、
$\begin{align}\displaystyle 2cZ^+(4,7,7)=2cZ^+(7)Z^+(4,7)-c^2(Z^+(7))^2+(Z^+(7,3))^2.\end{align}$
$\hspace{5pt}$となります。
$\hspace{5pt}$$(6,3,3,6)$ の反復についても一般公式が得られています。反復単位を $B_3=(6,3,3,6)$ とし、$a,j\ge0$ に対して、
$\begin{align}\displaystyle F_j^{(a)}=\mathcal C(4,6,\{B_3\}^j,\{6\}^{2a+1}),\quad H_j^{(a)}=\mathcal C(3,6,\{B_3\}^j,\{6\}^{2a+1}).\end{align}$
$\hspace{5pt}$とおきます。任意の整数 $r\ge1$、$a,b\ge0$ に対して、
$\begin{align}\displaystyle \mathcal C(4,\{6\}^{2b+1},\{B_3\}^r,\{6\}^{2a+1})-(-1)^r\mathcal C(4,\{6\}^{2a+1},\{B_3\}^r,\{6\}^{2b+1})=-c\sum_{j=0}^{r-1}(-1)^j(F_{r-1-j}^{(a)}F_j^{(b)}+H_{r-1-j}^{(a)}H_j^{(b)}).\end{align}$
$\hspace{5pt}$特に $a=b=0$、$r=2q+1$ の場合は、
$\begin{align}\displaystyle 2F_{2q+1}^{(0)}=-c\sum_{j=0}^{2q}(-1)^j(F_{2q-j}^{(0)}F_j^{(0)}+H_{2q-j}^{(0)}H_j^{(0)})\qquad(q\ge0).\end{align}$
$\hspace{5pt}$同様に、$B_7=(6,7,7,6)$、$D_7=(6,6,7,7)$ とし、
$\begin{align}\displaystyle \mathcal P_j^{(a)}=\mathcal C(\{6\}^{2a},\{D_7\}^j,6,6,7),\quad\mathcal Q_j^{(a)}=\mathcal C(\{6\}^{2a},\{D_7\}^j,6,6,7,3).\end{align}$
$\hspace{5pt}$と定めると、任意の整数 $r\ge1$、$a,b\ge0$ について、
$\begin{align}\displaystyle c(\mathcal C(4,\{6\}^{2b+1},\{B_7\}^r,\{6\}^{2a+1})-(-1)^r\mathcal C(4,\{6\}^{2a+1},\{B_7\}^r,\{6\}^{2b+1}))=\sum_{j=0}^{r-1}(-1)^j(\mathcal Q_{r-1-j}^{(a)}\mathcal Q_j^{(b)}-c^2\mathcal P_{r-1-j}^{(a)}\mathcal P_j^{(b)}).\end{align}$
9．反復公式に付随する解析的関係
$\hspace{5pt}$四列反復の一般公式に関連する作用素関係も記録します。$\D D=\frac{d}{dx}$、$\mathcal L=D(x(1-x^2)D)-x$ とし、$\mathcal G$ を両端で正則な Green 逆作用素とします。
$\begin{align}\displaystyle (\mathcal Gh)(x)=-c\L(K_c(x)\int_0^xK(t)h(t)\,dt+K(x)\int_x^1K_c(t)h(t)\,dt\R).\end{align}$
$\hspace{5pt}$二つの Abel 作用素 $\mathcal E,\mathcal O$ を、
$\begin{align}\displaystyle &(\mathcal Eu)(x)=c\int_0^{\sqrt{1-x^2}}\frac{u(y)}{\sqrt{1-x^2-y^2}}\,dy.\\&(\mathcal Ou)(x)=c\int_{\sqrt{1-x^2}}^{1}\frac{u(y)}{\sqrt{x^2+y^2-1}}\,dy.\end{align}$
$\hspace{5pt}$と定めると、$\mathcal M_7=\mathcal G^2\mathcal E\mathcal G\mathcal O\mathcal G$ に対して、
$\begin{align}\displaystyle \mathcal M_7\mathcal G+\mathcal G\mathcal M_7^*=c((\mathcal G^2\mathcal EK)\otimes(\mathcal G^2\mathcal EK)-(\mathcal G^2\mathcal EK_c)\otimes(\mathcal G^2\mathcal EK_c)).\end{align}$
$\hspace{5pt}$ここで、$(f\otimes g)h=f\langle g,h\rangle$ です。また、弱形式で
$\begin{align}\displaystyle \langle v,\mathcal Tu\rangle=-c^{-3}\L(\int_0^1v(x)u^\prime(x)\,dx+u(0)v(0)\R)\end{align}$
$\hspace{5pt}$と表される作用素 $\mathcal T$ について、$\mathcal M_3=\mathcal G^2\mathcal T\mathcal G$ とおくと、
$\begin{align}\displaystyle \mathcal M_3\mathcal G+\mathcal G\mathcal M_3^*=-c^{-3}((\mathcal GK)\otimes(\mathcal GK)+(\mathcal GK_c)\otimes(\mathcal GK_c)).\end{align}$
$\hspace{5pt}$任意の正整数 $r$ については、次の有限恒等式が成り立ちます。
$\begin{align}\displaystyle \mathcal M^r\mathcal G-(-1)^r\mathcal G(\mathcal M^*)^r=\sum_{j=0}^{r-1}(-1)^j\mathcal M^{r-1-j}(\mathcal M\mathcal G+\mathcal G\mathcal M^*)(\mathcal M^*)^j.\end{align}$
