床関数と２重根号（続き）

$(3+ \sqrt{5} )x-2y=k$ （ただし$0\lt k \lt1$）とおく．
$x>0 , y>0$で進める．
$$ y= \frac{3+ \sqrt{5}}{2}x- \frac{k}{2} $$
$$ 3y-x=\frac{7+ 3\sqrt{5}}{2}x- \frac{3k}{2} $$
$ \alpha = \frac{1+ \sqrt{5}}{2} $とおくと，
$$ \sqrt{y}= \alpha \sqrt{x-\frac{k}{2\alpha^2} }$$
$$ \sqrt{3y-x}=\alpha^2 \sqrt{x-\frac{3k}{2\alpha^4} } $$
ここで，$1+\alpha-\alpha^2=0$に注意して，
$$f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{3y-x}$$
とおくと
$$f(x)=(\sqrt{x}-\sqrt{x-\frac{3k}{2\alpha^4} })+\alpha(\sqrt{x-\frac{k}{2\alpha^2} }-\sqrt{x-\frac{3k}{2\alpha^4} })$$
かなりとばすと，$f(x)$は正値をとる減少関数とわかる．
$$f(x)= \frac{\frac{3k}{2\alpha^4}}{\sqrt{x}+\sqrt{x-\frac{3k}{2\alpha^4} }}+\frac{\frac{3k}{2\alpha^3}-\frac{k}{2\alpha}}{\sqrt{x-\frac{k}{2\alpha^2} }+\sqrt{x-\frac{3k}{2\alpha^4} }}$$
$$ \lim_{x \to \infty}f(x)=0 ,f(1)<1$$なので，$$0< f(x)<1$$
$F(x)=[ \sqrt{x} ]+[ \sqrt{y} ]-[ \sqrt{3y-x}]$とおくと，$$\sqrt{x}=[ \sqrt{x} ]+X,\sqrt{y}=[ \sqrt{y} ]+Y,\sqrt{3y-x}=[ \sqrt{3y-x} ]+Z$$
として，
$$F(x)=f(x)-(X+Y-Z)>-2$$
$$F(x)=f(x)-(X+Y-Z)<2$$
整数値であることから，$F(x)=-1,0,1$に限る．

実際，調べると，0が多く，比較的小さい$x$で-1をとります．ということで，残った課題は，
$F(x)=1$をみたす$x$がないことを示すこととなります．
どうでしょう？