X（旧Twitter）で見つけた問題を解く１
問題
$n$を正の整数とし，数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$，実数$c$に対して関数列$f_n (x)$と数列$\{I_n\}$を以下のように定める．
\begin{align}
f_n (x) &= c + \sum_{k=1}^n (a_k \cos{kx} + b_k \sin{kx}), \\
I_n &= \int_{-\pi}^\pi \{f_n (x) - x^2\}^2 \, dx.
\end{align}
このとき，不等式
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^4} \leqq \frac{\pi^4}{90}
\end{equation}
を示せ．
引用： https://x.com/sakumon_circles/status/1848665608872747390
解答
まず区間$[-\pi,\ \pi]$において$\{\cos{x},\ \cos{2x},\ \cdots ,\ \sin{x},\ \sin{2x},\ \cdots\}$は直交性をもつ：
$m,\ n \in \mathbb{N}$として
\begin{align*}
\int_{-\pi}^\pi \sin{mx} \sin{nx} \, dx &=
\begin{cases}
0 & (m \neq n), \\
\pi & (m = n),
\end{cases} \\
\int_{-\pi}^\pi \cos{mx} \cos{nx} \, dx &=
\begin{cases}
0 & (m \neq n), \\
\pi & (m = n),
\end{cases} \\
\int_{-\pi}^\pi \sin{mx} \cos{nx} \, dx &= 0.
\end{align*}
積和公式：$\sin{mx} \sin{nx} = \{-\cos{(m+n)x} + \cos{(m-n)x}\}/2$，$\cos{mx} \cos{nx} = \{\cos{(m+n)x} + \cos{(m-n)x}\}/2$，$\sin{mx} \cos{nx} = \{\sin{(m-n)x} + \sin{(m+n)x}\}/2$を用いて積分計算すると示せる．
これと，$\sin{kx} \ (k \in \mathbb{N})$は奇関数であることを用いると
\begin{align}
I_n &= \int_{-\pi}^\pi \left\{c^2 -2c x^2 + x^4 + \sum_{k=1}^n (a_k^2 \cos^2{kx} + b_k^2 \sin^2{kx} - 2 a_k (x^2 - c) \cos{kx})\right\}\, dx \\
&= 2 \pi c^2 - \frac{4 \pi^3}{3} c + \frac{2 \pi^5}{5} + \sum_{k=1}^n \left(a_k^2 \cdot \pi - b_k^2 \cdot \pi - 4 a_k \left[(x^2 - c)\frac{\sin{kx}}{k} + 2 x \frac{\cos{kx}}{k^2} - 2 \frac{\sin{kx}}{k^3}\right]_0^\pi\right) \\
&= 2 \pi c^2 - \frac{4 \pi^3}{3} c + \frac{2 \pi^5}{5} + \pi \sum_{k=1}^n \left(a_k^2 - b_k^2 - 8 a_k \frac{(-1)^k}{k^2}\right).
\end{align}
ここで$a_k = \dfrac{8 (-1)^k}{k^2}$および$b_k = \dfrac{4 \sqrt{6}}{k^2}$とおくと，$\displaystyle I_n \geqq \int_{-\pi}^\pi 0 \, dx = 0$と合わせて
\begin{align}
2 \pi c^2 - \frac{4 \pi^3}{3} c &+ \frac{2 \pi^5}{5} - \pi \sum_{k=1}^n \frac{96}{k^4} \geqq 0, \\
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^4} &\leqq \frac{30 c^2 - 20 \pi^2 c + 6 \pi^4}{96 \cdot 15}.
\end{align}
$c$は任意であったから$c = \pi^2$とおくと
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^4} \leqq \frac{30 (\pi^2)^2 - 20 \pi^2 \cdot \pi^2 + 6 \pi^4}{96 \cdot 15} = \frac{16 \pi^4}{96 \cdot 15} = \frac{\pi^4}{90}.
\end{equation}
解答時および解答後の感想
証明した不等式の左辺が，$n$の極限をとるとゼータ関数：
\begin{equation}
\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}
\end{equation}
の$s=4$の場合の値$\zeta(4)$になる．まさか，と思って調べてみるとどうやら
\begin{equation}
\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}
\end{equation}
らしい．なるほど面白い．
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