X（旧Twitter）で見つけた問題を解く１

問題

　引用： https://x.com/sakumon_circles/status/1848665608872747390

解答

　まず区間$[-\pi ,\pi ]$において$\{\cos x,\cos 2x,\cdots ,\sin x,\sin 2x,\cdots \}$は直交性をもつ：

これと，$\sin kx(k\in \mathbb{N})$は奇関数であることを用いると
$$\begin{array}{rl}{I}_n& ={\int }_{-\pi }^{\pi }\{c^2-2c{x}^2+x^4+\sum _{k=1}^n(a_k^2{\cos }^{2}kx+b_k^2{\sin }^{2}kx-2a_k(x^2-c)\cos kx)\}dx\\ & =2\pi c^2-\frac{4{\pi }^3}{3}c+\frac{2{\pi }^5}{5}+\sum _{k=1}^n(a_k^2\cdot \pi -b_k^2\cdot \pi -4a_k{[(x^2-c)\frac{\sin kx}{k}+2x\frac{\cos kx}{k^2}-2\frac{\sin kx}{k^3}]}_0^{\pi })\\ & =2\pi c^2-\frac{4{\pi }^3}{3}c+\frac{2{\pi }^5}{5}+\pi \sum _{k=1}^n(a_k^2-b_k^2-8a_k\frac{(-1{)}^k}{k^2}).\end{array}$$
ここで$a_k={\displaystyle \frac{8(-1{)}^k}{k^2}}$および$b_k={\displaystyle \frac{4\sqrt{6}}{k^2}}$とおくと，${\displaystyle I_n\geqq {\int }_{-\pi }^{\pi }0dx=0}$と合わせて
$$\begin{array}{rl}2\pi c^2-\frac{4{\pi }^3}{3}c& +\frac{2{\pi }^5}{5}-\pi \sum _{k=1}^n\frac{96}{k^4}\geqq 0,\\ \sum _{k=1}^n\frac{1}{k^4}& \leqq \frac{30c^2-20{\pi }^{2}c+6{\pi }^4}{96\cdot 15}.\end{array}$$
$c$は任意であったから$c={\pi }^2$とおくと
$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^4}\leqq \frac{30({\pi }^2{)}^2-20{\pi }^2\cdot {\pi }^2+6{\pi }^4}{96\cdot 15}=\frac{16{\pi }^4}{96\cdot 15}=\frac{{\pi }^4}{90}.$$

解答時および解答後の感想

　証明した不等式の左辺が，$n$の極限をとるとゼータ関数：
$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$$
の$s=4$の場合の値$\zeta (4)$になる．まさか，と思って調べてみるとどうやら
$$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$$
らしい．なるほど面白い．